Ache a série de Taylor em torno de x=0 das seguintes funções:
a) f(x)=e^{x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor (Maclaurin) de f(x)=e^{x^{2}} em torno de x=0. Para isso, vamos usar o desenvolvimento conhecido de e^{u} em potências de u e depois fazer a substituição u=x^{2}.

Passo 2

Lembrando que a série de Taylor de e^{u} em torno de u=0 é
e^{u} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^{n}}{n!}\,,
válida para todo u\in\mathbb{R}.

Passo 3

Fazendo u = x^{2}, obtemos
e^{x^{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x^{2})^{n}}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!}\,.

Passo 4

Escrevendo os primeiros termos dessa série, fica
e^{x^{2}} = 1 + \frac{x^{2}}{1!} + \frac{x^{4}}{2!} + \frac{x^{6}}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!}\,.

Resposta

e^{x^{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!} = 1 + x^{2} + \frac{x^{4}}{2!} + \frac{x^{6}}{3!} + \cdots