Uma barra fina de massa e comprimento está em repouso, pendurada verticalmente de uma dobradiça fixa forte na sua extremidade superior. Subitamente, uma força impulsiva horizontal de é aplicada sobre ela. (a) Suponha que a força atue na extremidade de baixo da barra. Encontre a aceleração do seu centro de massa

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos uma barra fina com massa de e comprimento de que está pendurada na posição vertical por uma dobradiça fixa no topo. De repente, uma força horizontal de é aplicada na ponta inferior da barra. Nosso objetivo é encontrar a aceleração do centro de massa da barra quando essa força é aplicada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática e dinâmica de corpos rígidos, especialmente torque e aceleração angular.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar todas as forças atuando na barra. Temos:
  1. A força horizontal aplicada na ponta inferior.
  2. O peso da barra ² atuando no centro de massa da barra.
  3. A força de reação na dobradiça, que a gente não precisa calcular diretamente porque vamos focar na aceleração do centro de massa.

Passo 3

Vamos aplicar a segunda lei de Newton para a rotação, que diz que o torque resultante é igual ao momento de inércia multiplicado pela aceleração angular ( ):
O torque causado pela força é , onde é o comprimento total da barra. O torque devido ao peso é (porque o peso atua no centro de massa, no meio da barra).

Passo 4

O momento de inércia de uma barra fina girando em torno de uma extremidade é:
²
Agora, substituímos os valores na equação dos torques:
²

Passo 5

Sabemos que a aceleração do centro de massa está relacionada com a aceleração angular pela distância do centro de massa ao ponto de rotação:
Então, podemos expressar como:
Substituímos na equação dos torques:
²
Simplificando:

Passo 6

Agora, isolamos :
Simplificando mais:
Substituímos :

Passo 7

Vamos agora substituir os valores numéricos:
²
Calculando o numerador:
E o denominador:
Então:
²

Resposta

A aceleração do centro de massa da barra é aproximadamente ².

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