Uma barra fina de massa
e comprimento
está em repouso, pendurada verticalmente de uma dobradiça fixa forte na sua extremidade superior. Subitamente, uma força impulsiva horizontal de
é aplicada sobre ela. (a) Suponha que a força atue na extremidade de baixo da barra. Encontre a aceleração do seu centro de massa
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos uma barra fina com massa de
e comprimento de
que está pendurada na posição vertical por uma dobradiça fixa no topo. De repente, uma força horizontal de
é aplicada na ponta inferior da barra. Nosso objetivo é encontrar a aceleração do centro de massa da barra quando essa força é aplicada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática e dinâmica de corpos rígidos, especialmente torque e aceleração angular.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar todas as forças atuando na barra. Temos:
- A força horizontal
aplicada na ponta inferior. - O peso da barra
atuando no centro de massa da barra. - A força de reação na dobradiça, que a gente não precisa calcular diretamente porque vamos focar na aceleração do centro de massa.
Passo 3
Vamos aplicar a segunda lei de Newton para a rotação, que diz que o torque resultante é igual ao momento de inércia multiplicado pela aceleração angular (
):
O torque causado pela força
é
, onde
é o comprimento total da barra. O torque devido ao peso é
(porque o peso atua no centro de massa, no meio da barra).
Passo 4
O momento de inércia
de uma barra fina girando em torno de uma extremidade é:
Agora, substituímos os valores na equação dos torques:
Passo 5
Sabemos que a aceleração do centro de massa
está relacionada com a aceleração angular
pela distância do centro de massa ao ponto de rotação:
Então, podemos expressar
como:
Substituímos
na equação dos torques:
Simplificando:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Simplificando mais:
Substituímos
:
Passo 7
Vamos agora substituir os valores numéricos:
Calculando o numerador:
E o denominador:
Então:
Resposta
A aceleração do centro de massa da barra é aproximadamente
.