Um bloco desliza sem atrito ao longo de uma curva do repouso a uma altura
3 m acima de um plano horizontal. A seguir, o corpo sobe uma rampa com inclinação igual a
. Quando o corpo atinge uma altura
, a rampa termina e ele passa a se mover somente sob a ação da gravidade. Determine a distância horizontal
entre a projeção deste ponto sobre o solo e o ponto onde o bloco atingirá o solo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um bloco que começa parado no alto de uma curva, a 3 metros acima do chão. Sem atrito, ele desliza para baixo e depois sobe uma rampa inclinada de 30 graus. Quando ele alcança uma altura de 1 metro, a rampa termina e o bloco passa a se mover só com a ação da gravidade, ou seja, cai livremente. Nosso objetivo é descobrir qual é a distância horizontal entre o ponto onde o bloco começa a cair e onde ele finalmente toca o chão.
Para resolver isso, vamos precisar usar princípios de conservação de energia para descobrir a velocidade do bloco na altura de 1 metro, e depois aplicar conceitos de movimento projetado para calcular a distância horizontal que ele percorre enquanto cai.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a conservação de energia para encontrar a velocidade do bloco quando ele está na altura de 1 metro. Como não há atrito, a energia total do bloco é conservada. A energia potencial no ponto mais alto (3 metros) se transforma em energia cinética e potencial na altura de 1 metro.
A energia potencial inicial é dada por:
E a energia no ponto de 1 metro é:
A energia cinética no ponto de 1 metro será:
Pela conservação de energia:
Então:
Podemos simplificar cancelando o
de todos os termos:
Isolando
:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora que sabemos a velocidade do bloco na altura de 1 metro, vamos determinar essa velocidade na direção horizontal, já que a rampa tem uma inclinação de 30 graus. A velocidade total
pode ser decomposta em componentes horizontal (
) e vertical (
).
As componentes são dadas por:
Onde
.
Calculando:
Passo 4
Depois que o bloco deixa a rampa, ele se move como um projétil sob a ação da gravidade. Para encontrar a distância horizontal que ele percorre, precisamos determinar o tempo que ele leva para cair do ponto de altura 1 metro até o chão.
Usamos a equação do movimento vertical:
Como o bloco está descendo, consideramos a aceleração da gravidade como positiva na direção para baixo. A posição final é no chão, então
:
Rearranjando:
Passo 5
Agora que temos o tempo de queda, podemos calcular a distância horizontal percorrida. A distância horizontal
é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A distância horizontal entre a projeção do ponto de 1 metro e onde o bloco atinge o solo é aproximadamente 2,44 metros.