Em cada um dos seguintes casos indique se a estrutura é uma rede de Bravais. Se for, dê os três vetores primitivos; se não, descreve-a como uma rede de Bravais com uma base com o menor número de pontos possível.
Cúbica de base centrada (rede cúbica simples com pontos adicionais nos centros das faces horizontais da célula cúbica).

Passo 1

O enunciado descreve uma “rede cúbica simples” de parâmetro de rede a com pontos adicionais nos centros apenas das faces horizontais ( z=0 e z=a) da célula cúbica. O conteúdo aqui é reconhecer se esse arranjo é ou não um Bravais e, em caso afirmativo, encontrar três vetores primitivos que gerem todo o conjunto de pontos.

Passo 2

Chamemos de L o conjunto de pontos l(i, ex + j, ey + k, ezr)a com i,j,kin Z (a rede simples) junto com os pontos l(i+tfrac12,,,j+tfrac12,,,kr)a para todos i,j,kin Z. Note que, se existirem três vetores a1, a2, a3 tais que qualquer ponto de L se escreva como n1 a1+n2 a2+n3 a3 com niin Z, então L é uma rede de Bravais.

Passo 3

Proponha três vetores no plano xy que “desloquem” tanto o ponto de canto (0,0,0) quanto o ponto de face-centro (tfrac12,tfrac12,0)a. Uma escolha conveniente é
a1 = l(tfraca2,,tfraca2,,0r), a2 = l(-tfraca2,,tfraca2,,0r), a3 = l(0,,0,,ar)
Verifique que combinações inteiras de a1, a2 geram todos os pontos (i,j,0)a e (i+tfrac12,j+tfrac12,0)a, e que adicionar múltiplos inteiros de a3 varre toda a rede ao longo de z.

Passo 4

Como encontramos um tripé de vetores linearmente independentes que gera exatamente todos os pontos de L, concluímos que a estrutura é uma rede de Bravais. Na classificação convencional, trata-se de uma rede ortorrômbica base-centrada (tipo C), mas com a=b=c (caso especial).

Resposta

Os vetores primitivos podem ser escolhidos como
a1 = l(tfraca2,,tfraca2,,0r), a2 = l(-tfraca2,,tfraca2,,0r), a3 = l(0,,0,,ar)