[Computador] Considere uma partícula com massa
e momento angular
sob um campo de força central
. Para simplificar suas equações, escolha unidades para as quais
. (a) Determine o valor
de
para o qual
é mínimo e faça o gráfico de
para
. (Escolha a escala de modo que seu gráfico mostre a parte interessante da curva.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula com massa
, momento angular
e está agindo sob uma força central
. A tarefa aqui é encontrar o valor de
onde o potencial efetivo
é mínimo e fazer um gráfico de
para
. Para isso, vamos usar física de movimento em campos de força e conceitos de energia potencial efetiva.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as equações escolhendo unidades onde
. Isso deixa nosso problema mais fácil de manejar. Então, a força central fica
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o potencial
associado a essa força. Sabemos que a força é relacionada ao potencial pela relação
. Então, temos:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Podemos definir a constante de integração
para simplificar, então:
Passo 4
Agora, vamos construir o potencial efetivo
. O potencial efetivo leva em conta tanto o potencial da força central quanto o efeito da rotação devido ao momento angular. A fórmula para
é:
Com
, simplifica para:
Passo 5
Para encontrar o valor de
onde
é mínimo, precisamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Calculando a derivada termo a termo:
Simplificando:
Igualamos a zero para encontrar o mínimo:
Passo 6
Resolvendo a equação
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando os expoentes:
Então:
Portanto,
.
Passo 7
Agora que encontramos
, vamos plotar
para
. Substituindo
na expressão de
:
Podemos calcular alguns valores para
entre 0 e 5 e traçar o gráfico. Observando que, próximo de
, o termo
domina e
tende a
. Em
,
. Para
, o potencial aumenta novamente.
Resposta
O valor de
onde o potencial efetivo
é mínimo é
. O gráfico de
para
mostra que o mínimo ocorre em
, com
, e o potencial aumenta novamente para valores de
maiores que 1.