[Computador] Considere uma partícula com massa e momento angular sob um campo de força central . Para simplificar suas equações, escolha unidades para as quais . (a) Determine o valor de para o qual é mínimo e faça o gráfico de para . (Escolha a escala de modo que seu gráfico mostre a parte interessante da curva.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula com massa , momento angular e está agindo sob uma força central . A tarefa aqui é encontrar o valor de onde o potencial efetivo é mínimo e fazer um gráfico de para . Para isso, vamos usar física de movimento em campos de força e conceitos de energia potencial efetiva.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as equações escolhendo unidades onde . Isso deixa nosso problema mais fácil de manejar. Então, a força central fica .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o potencial associado a essa força. Sabemos que a força é relacionada ao potencial pela relação . Então, temos:
Integrando ambos os lados em relação a :
Podemos definir a constante de integração para simplificar, então:

Passo 4

Agora, vamos construir o potencial efetivo . O potencial efetivo leva em conta tanto o potencial da força central quanto o efeito da rotação devido ao momento angular. A fórmula para é:
Com , simplifica para:

Passo 5

Para encontrar o valor de onde é mínimo, precisamos derivar em relação a e igualar a zero:
Calculando a derivada termo a termo:
Simplificando:
Igualamos a zero para encontrar o mínimo:

Passo 6

Resolvendo a equação :
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando os expoentes:
Então:
Portanto, .

Passo 7

Agora que encontramos , vamos plotar para . Substituindo na expressão de :
Podemos calcular alguns valores para entre 0 e 5 e traçar o gráfico. Observando que, próximo de , o termo domina e tende a . Em , . Para , o potencial aumenta novamente.

Resposta

O valor de onde o potencial efetivo é mínimo é . O gráfico de para mostra que o mínimo ocorre em , com , e o potencial aumenta novamente para valores de maiores que 1.

Exercícios de Livros Relacionados