Considere um disco, sem atrito, sobre uma mesa horizontal que está girando no sentido anti-horário com velocidade angular . (a) Obtenha a segunda lei de Newton para as coordenadas e do disco visto por mim em pé sobre a mesa giratória. (Certifique-se de incluir as forças centrífuga e de Coriolis, mas ignore a rotação da Terra.) (b) Resolva as duas equações usando o truque de escrever e sugerindo uma solução da forma . [Neste caso - como no caso do movimento harmônico simples criticamente amortecido, discutido na Seção 5.4 - você obtém apenas uma solução por este caminho. A outra solução tem a mesma forma de (5.43) que determinamos para a segunda solução do movimento harmônico simples.] Obtenha a solução geral.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de física envolvendo um disco que está girando sem atrito sobre uma mesa horizontal com uma velocidade angular no sentido anti-horário. O que a gente precisa fazer aqui é aplicar a segunda lei de Newton nas coordenadas e desse disco, considerando os efeitos de forças fictícias como a centrífuga e a de Coriolis, já que estamos observando do ponto de vista de alguém que está na mesa giratória. Depois, vamos resolver essas equações usando um método que envolve números complexos. Para isso, vamos precisar lembrar como a segunda lei de Newton funciona em sistemas não inerciais e entender um pouco sobre forças fictícias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a segunda lei de Newton, que diz que a força resultante em um objeto é igual à massa dele vezes sua aceleração: .

Passo 3

Como estamos no sistema de referência giratório, precisamos incluir as forças fictícias que aparecem nesse tipo de movimento. As principais são:
  • Força centrífuga: Essa força parece empurrar o objeto para fora do centro de rotação e é dada por í, onde é a posição do objeto em relação ao centro.
  • Força de Coriolis: Essa força surge quando o objeto está se movendo dentro do sistema giratório e é dada por , onde é a velocidade do objeto no sistema giratório.

Passo 4

Vamos agora escrever as equações de movimento nas direções e . Considerando que a mesa está girando no sentido anti-horário, podemos definir o eixo para a direita e o para cima. As forças atuantes no disco são a força centrífuga e a força de Coriolis, além de qualquer força externa que possa estar presente (mas como não foi especificado, vamos considerar apenas as fictícias).
Para a direção :
Para a direção :
Aqui, e são as acelerações nas direções e , e e são as velocidades.

Passo 5

Podemos simplificar as equações dividindo todos os termos por :
Para :
Para :

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b) do exercício, onde a gente precisa resolver essas duas equações. A dica é usar números complexos, definindo , onde é a unidade imaginária. A gente sugere uma solução da forma , onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 7

Substituindo nas equações de movimento, vamos derivar em relação ao tempo:
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 8

Agora, substituímos , e nas equações de movimento combinadas. Ao fazer isso, conseguimos encontrar uma equação para . Após resolver essa equação, vamos obter os valores possíveis de que satisfazem o sistema.

Passo 9

Finalmente, a solução geral será uma combinação das soluções encontradas, levando em conta as condições iniciais do problema. Isso significa que a posição do disco em qualquer tempo pode ser descrita pela soma das soluções harmônicas obtidas.

Resposta

A solução geral para o movimento do disco é uma combinação linear das soluções da forma e sua conjugada, resultando em:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais do sistema.

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