Considere duas partículas de massas iguais, , ligadas uma a outra por uma mola leve (constante da força , comprimento natural ) e livre para deslizar sobre uma mesa horizontal sem atrito. (b) Obtenha e resolva as equações de Lagrange para as coordenadas e do CM.

Passo 1

Então, vamos lá! Temos duas partículas com massas iguais, , ligadas por uma mola de constante e comprimento natural . Elas estão sobre uma mesa sem atrito, permitindo que se movam livremente. Nosso objetivo aqui é usar as Equações de Lagrange para encontrar as equações de movimento para as coordenadas do centro de massa, e . Para isso, vamos precisar entender o que é o Lagrangiano e como aplicá-lo ao sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o Lagrangiano, , é dado pela diferença entre a energia cinética total, , e a energia potencial total, , do sistema:
Precisamos calcular ambas as energias para as partículas.

Passo 3

A energia cinética de cada partícula é dada por:
Como temos duas partículas, a energia cinética total será:
Onde e são as velocidades nas direções e .

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia potencial da mola. A mola está esticada ou comprimida dependendo da distância entre as partículas. A energia potencial armazenada na mola é:
Onde é a variação do comprimento da mola em relação ao seu comprimento natural .

Passo 5

Para encontrar , precisamos expressar a distância entre as duas partículas em termos das coordenadas do centro de massa. Como as massas são iguais e o centro de massa está em e , a distância entre elas será . Portanto:

Passo 6

Substituindo na expressão da energia potencial:
Agora temos tanto quanto em termos das coordenadas e .

Passo 7

Com o Lagrangiano definido, podemos escrever as Equações de Lagrange:
Vamos calcular cada termo dessas equações.

Passo 8

Calculando as derivadas parciais para :

Passo 9

Aplicando a Equação de Lagrange para :
Simplificando:

Passo 10

Repetindo o mesmo processo para , teremos:

Passo 11

Finalmente, as equações de movimento para as coordenadas do centro de massa são:

Resposta

As equações de Lagrange para as coordenadas do centro de massa são:

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