Considere duas partículas de massas iguais,
, ligadas uma a outra por uma mola leve (constante da força
, comprimento natural
) e livre para deslizar sobre uma mesa horizontal sem atrito. (b) Obtenha e resolva as equações de Lagrange para as coordenadas
e
do CM.
Passo 1
Então, vamos lá! Temos duas partículas com massas iguais,
, ligadas por uma mola de constante
e comprimento natural
. Elas estão sobre uma mesa sem atrito, permitindo que se movam livremente. Nosso objetivo aqui é usar as Equações de Lagrange para encontrar as equações de movimento para as coordenadas do centro de massa,
e
. Para isso, vamos precisar entender o que é o Lagrangiano e como aplicá-lo ao sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o Lagrangiano,
, é dado pela diferença entre a energia cinética total,
, e a energia potencial total,
, do sistema:
Precisamos calcular ambas as energias para as partículas.
Passo 3
A energia cinética de cada partícula é dada por:
Como temos duas partículas, a energia cinética total será:
Onde
e
são as velocidades nas direções
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia potencial da mola. A mola está esticada ou comprimida dependendo da distância entre as partículas. A energia potencial armazenada na mola é:
Onde
é a variação do comprimento da mola em relação ao seu comprimento natural
.
Passo 5
Para encontrar
, precisamos expressar a distância entre as duas partículas em termos das coordenadas do centro de massa. Como as massas são iguais e o centro de massa está em
e
, a distância entre elas será
. Portanto:
Passo 6
Substituindo
na expressão da energia potencial:
Agora temos tanto
quanto
em termos das coordenadas
e
.
Passo 7
Com o Lagrangiano definido, podemos escrever as Equações de Lagrange:
Vamos calcular cada termo dessas equações.
Passo 8
Calculando as derivadas parciais para
:
Passo 9
Aplicando a Equação de Lagrange para
:
Simplificando:
Passo 10
Repetindo o mesmo processo para
, teremos:
Passo 11
Finalmente, as equações de movimento para as coordenadas do centro de massa são:
Resposta
As equações de Lagrange para as coordenadas do centro de massa são: