Uma corda de aço de guitarra com diâmetro de é esticada entre suportes a de distância um do outro. A temperatura é . A frequência fundamental das oscilações transversas da corda é 200 Hz . Qual é a tensão na corda? Em seguida, a temperatura é elevada para . Encontre o valor resultante da tensão. Suponha que o módulo de Young e o coeficiente de expansão média tenham valores constantes entre .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de física que envolve ondas em cordas e como a temperatura afeta a tensão na corda de uma guitarra. Precisamos calcular a tensão inicial na corda quando a temperatura está em 0°C e depois ver como essa tensão muda quando a temperatura sobe para 30°C. Para isso, vamos usar conceitos de frequência fundamental das ondas na corda, módulo de Young e coeficiente de expansão térmica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a frequência fundamental de uma corda esticada é dada por:
Onde:
  • é a frequência,
  • é o comprimento da corda,
  • é a tensão na corda,
  • é a massa por unidade de comprimento da corda.
Queremos encontrar a tensão , então vamos rearranjar a fórmula:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a massa por unidade de comprimento . Para isso, usamos a densidade da corda. Mas como não temos a densidade diretamente, podemos relacionar o módulo de Young com a tensão e a deformação caso houvesse uma mudança na dimensão, mas nesse caso, inicialmente, vamos considerar que a área da seção transversal da corda é necessária.
A área de uma seção circular é:
Onde é o diâmetro da corda. Com o diâmetro :

Passo 4

Sabemos que a massa por unidade de comprimento é dada por:
Onde é a densidade do material. Entretanto, como não foi fornecida a densidade, vamos considerar que para calcular a tensão diretamente a partir da frequência e do comprimento, precisamos de outra abordagem. Vamos reescrever a fórmula da frequência para isolar a tensão:
Mas sem , precisamos usar outra relação. Vamos usar a velocidade da onda na corda:
E a velocidade também pode ser expressa como:
Igualando as duas expressões para :
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Ainda precisamos de , então vamos considerar que , mas sem massa, vamos ajustar nossa abordagem.

Passo 5

Vamos usar a relação entre o módulo de Young , tensão , área e alongamento :
Mas para isso, precisamos saber como a temperatura afeta o comprimento, já que .
Então, inicialmente, a tensão é dada por:
Com , mas inicialmente, a temperatura é 0°C, então , o que implicaria , o que não faz sentido. Parece que estamos presos. Vamos voltar à nossa primeira abordagem.

Passo 6

Vamos considerar que para calcular a tensão a partir da frequência fundamental, precisamos da relação correta. Sabemos que:
Rearranjando para :
Para encontrar , precisamos da densidade . Porém, não temos . Podemos relacionar o módulo de Young com , mas sem , isso também não ajuda diretamente. Parece que precisamos de mais informações ou uma abordagem diferente.

Passo 7

Vamos assumir que a sequência correta é primeiro calcular a tensão inicial usando a frequência, e depois considerar a variação de tensão devido à temperatura.
Para isso, vamos reorganizar a fórmula da frequência para encontrar :
A massa por unidade de comprimento pode ser relacionada ao módulo de Young, mas sem a densidade, não conseguimos avançar diretamente. Talvez haja uma simplificação ou uma informação faltante.

Resposta

Após revisar as abordagens, percebemos que faltam informações para calcular a tensão diretamente a partir dos dados fornecidos. É necessário conhecer a densidade do aço para prosseguir com o cálculo da tensão inicial e sua variação com a temperatura.

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