Uma corda de aço de guitarra com diâmetro de
é esticada entre suportes a
de distância um do outro. A temperatura é
. A frequência fundamental das oscilações transversas da corda é 200 Hz . Qual é a tensão na corda? Em seguida, a temperatura é elevada para
. Encontre o valor resultante da tensão. Suponha que o módulo de Young
e o coeficiente de expansão média
tenham valores constantes entre
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física que envolve ondas em cordas e como a temperatura afeta a tensão na corda de uma guitarra. Precisamos calcular a tensão inicial na corda quando a temperatura está em 0°C e depois ver como essa tensão muda quando a temperatura sobe para 30°C. Para isso, vamos usar conceitos de frequência fundamental das ondas na corda, módulo de Young e coeficiente de expansão térmica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a frequência fundamental
de uma corda esticada é dada por:
Onde:
-
é a frequência, -
é o comprimento da corda, -
é a tensão na corda, -
é a massa por unidade de comprimento da corda.
Queremos encontrar a tensão
, então vamos rearranjar a fórmula:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a massa por unidade de comprimento
. Para isso, usamos a densidade da corda. Mas como não temos a densidade diretamente, podemos relacionar o módulo de Young
com a tensão e a deformação caso houvesse uma mudança na dimensão, mas nesse caso, inicialmente, vamos considerar que a área da seção transversal
da corda é necessária.
A área de uma seção circular é:
Onde
é o diâmetro da corda. Com o diâmetro
:
Passo 4
Sabemos que a massa por unidade de comprimento
é dada por:
Onde
é a densidade do material. Entretanto, como não foi fornecida a densidade, vamos considerar que para calcular a tensão diretamente a partir da frequência e do comprimento, precisamos de outra abordagem. Vamos reescrever a fórmula da frequência para isolar a tensão:
Mas sem
, precisamos usar outra relação. Vamos usar a velocidade da onda na corda:
E a velocidade também pode ser expressa como:
Igualando as duas expressões para
:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Ainda precisamos de
, então vamos considerar que
, mas sem massa, vamos ajustar nossa abordagem.
Passo 5
Vamos usar a relação entre o módulo de Young
, tensão
, área
e alongamento
:
Mas para isso, precisamos saber como a temperatura afeta o comprimento, já que
.
Então, inicialmente, a tensão
é dada por:
Com
, mas inicialmente, a temperatura é 0°C, então
, o que implicaria
, o que não faz sentido. Parece que estamos presos. Vamos voltar à nossa primeira abordagem.
Passo 6
Vamos considerar que para calcular a tensão a partir da frequência fundamental, precisamos da relação correta. Sabemos que:
Rearranjando para
:
Para encontrar
, precisamos da densidade
. Porém, não temos
. Podemos relacionar o módulo de Young com
, mas sem
, isso também não ajuda diretamente. Parece que precisamos de mais informações ou uma abordagem diferente.
Passo 7
Vamos assumir que a sequência correta é primeiro calcular a tensão inicial usando a frequência, e depois considerar a variação de tensão devido à temperatura.
Para isso, vamos reorganizar a fórmula da frequência para encontrar
:
A massa por unidade de comprimento
pode ser relacionada ao módulo de Young, mas sem a densidade, não conseguimos avançar diretamente. Talvez haja uma simplificação ou uma informação faltante.
Resposta
Após revisar as abordagens, percebemos que faltam informações para calcular a tensão diretamente a partir dos dados fornecidos. É necessário conhecer a densidade do aço para prosseguir com o cálculo da tensão inicial e sua variação com a temperatura.