Um elétron está confinado em uma região unidimensional na qual a energia de seu estado fundamental (n=1) é de 2,00 eV. (a) Qual é o comprimento L da região? (b) Qual energia deve ser consumida para colocar o elétron em seu primeiro estado excitado?

Passo 1

O enunciado trata de um elétron confinado num poço de potencial unidimensional infinito (caixa rara), cujo nível fundamental ( n=1) tem energia E1=2,00eV. Precisamos usar a fórmula dos níveis de energia para partícula numa caixa:
En = n^2pi^2hbar^22mL^2,
onde m é a massa do elétron, hbar é a constante reduzida de Planck e L é o comprimento da caixa. Com isso, achamos (a) L e (b) a energia requerida para ir de n=1 a n=2.

Passo 2

Isolamos L na expressão de E1 (com n=1):
E1 = pi^2hbar^22mL^2 Longrightarrow L = pihbarraiz12mE1

Passo 3

Convertendo E1 para o SI e substituindo valores:
E1 = 2,00eVtimes 1,602times10^-19JeV =3,204times10^-19J,
hbar = 1,055times10^-34Jcdot s, m = 9,11times10^-31kg
Logo,
L = pi,(1,055times10^-34) raiz2,(9,11times10^-31),(3,204times10^-19) approx 4,33times10^-10m ;(0,433;nm)

Passo 4

A energia do primeiro estado excitado é
E2 = 2^2pi^2hbar^22mL^2 = 4E1
Para excitar o elétron de n=1 para n=2 precisamos de
De<a E = E2 - E1 = 4E1 - E1 = 3E1 = 3times2,00eV = 6,00eV

Resposta

(a) L approx 4,33times10^-10m (0,433 nm)
(b) De<a E = 6,00eV