15.1 Um elétron de velocidade v=10^{7} \mathrm{~m} / \mathrm{s} entra numa região de campo magnético homogêneo com valor \mathcal{B}=0,3 \mathrm{~T}. A velocidade do elétron faz um ângulo de 60^{\circ} com o campo magnético. Calcule o raio da órbita, o período e a freqüência cíclotron. Quanto o elétron se desvia da linha reta após percorrer 2 cm dentro do campo magnético?

Passo 1

O enunciado descreve um elétron de carga -e e massa m que entra com velocidade \,v=10^{7}\,\mathrm{m/s} num campo magnético uniforme \mathcal{B}=0,3\,\mathrm{T}. A velocidade forma um ângulo de 60^\circ com \mathcal{B}. Precisamos usar o conceito de movimento helicoidal de uma partícula carregada em campo magnético, decompor a velocidade em componentes paralela e perpendicular ao campo, aplicar a fórmula do raio de curvatura no plano perpendicular, do período e da frequência ciclotron, e então calcular o desvio lateral após percorrer 2\,\mathrm{cm}.

Passo 2

Decomposição da velocidade:
v_{\perp}=v\sin 60^\circ,\qquad v_{\parallel}=v\cos 60^\circ.
Como \sin 60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \cos 60^\circ=\tfrac12,
v_{\perp}=10^{7}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=8{,}66\times10^{6}\,\mathrm{m/s},
v_{\parallel}=10^{7}\times\frac12=5\times10^{6}\,\mathrm{m/s}.

Passo 3

Raio da órbita circular (no plano perpendicular):
r=\frac{m\,v_{\perp}}{e\,B},
onde m=9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg} e e=1{,}60\times10^{-19}\,\mathrm{C}.
Substituindo,
r =\frac{9{,}11\times10^{-31}\times8{,}66\times10^{6}}{1{,}60\times10^{-19}\times0{,}3} \approx1{,}64\times10^{-4}\,\mathrm{m}.

Passo 4

Período e frequência ciclotron:
T=\frac{2\pi\,m}{e\,B}, \qquad f=\frac{1}{T}=\frac{e\,B}{2\pi\,m}.
Calculando numericamente,
T =\frac{2\pi\times9{,}11\times10^{-31}}{1{,}60\times10^{-19}\times0{,}3} \approx1{,}19\times10^{-10}\,\mathrm{s},
f =\frac{1}{1{,}19\times10^{-10}} \approx8{,}39\times10^{9}\,\mathrm{Hz}.

Passo 5

Desvio lateral em relação à reta tangente ao iniciar o campo, após percorrer s=2\,\mathrm{cm}=0{,}02\,\mathrm{m}.
Tempo de voo
t=\frac{s}{v}=\frac{0{,}02}{10^{7}}=2,0\times10^{-9}\,\mathrm{s}.
Ângulo girado no plano perpendicular
\varphi=\omega\,t, \quad \omega=2\pi f=\frac{e\,B}{m}.
Numericamente \omega\approx5{,}27\times10^{10}\,\mathrm{rad/s}, então
\varphi=5{,}27\times10^{10}\times2{,}0\times10^{-9}\approx0{,}1054\,\mathrm{rad}.
A deflexão (sagitta) em relação à linha reta é
y =r\bigl[1-\cos\varphi\bigr] \approx1{,}64\times10^{-4}\bigl[1-\cos(0{,}1054)\bigr] \approx9{,}1\times10^{-7}\,\mathrm{m}.

Resposta

Raio da órbita: r\approx1{,}64\times10^{-4}\,\mathrm{m}.
Período ciclotron: T\approx1{,}19\times10^{-10}\,\mathrm{s}.
Frequência ciclotron: f\approx8{,}39\times10^{9}\,\mathrm{Hz}.
Desvio lateral após 2\,\mathrm{cm}: y\approx9{,}1\times10^{-7}\,\mathrm{m}.