Embora o tópico principal deste capítulo seja o movimento de duas partículas que não estão sujeitas a forças externas, muitas das ideias [por exemplo, a separação da Lagrangiana
em duas partes independentes
, como na Equação (8.31)] se estendem facilmente para situações mais gerais. Para ilustrar isso, considere o seguinte: duas massas
e
se movem em um campo gravitacional uniforme
e interagindo via energia potencial
.
(b) Deduza as equações de Lagrange para as três coordenadas do
e
, e descreva o movimento do CM. Obtenha as três equações de Lagrange para as coordenadas relativas e mostre claramente que o movimento de
é o mesmo que o de uma única partícula de massa igual à massa reduzida
, com posição r e a energia potencial
.
(b) Deduza as equações de Lagrange para as três coordenadas do
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas massas,
e
, que se movimentam em um campo gravitacional uniforme
e interagem entre si através de uma energia potencial
. Nosso objetivo é deduzir as equações de Lagrange para as coordenadas do Centro de Massa (CM)
e para as coordenadas relativas, e mostrar que o movimento relativo é igual ao de uma única partícula com massa reduzida
, posição
e energia potencial
.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de Lagrangiana, coordenadas do centro de massa, coordenadas relativas, e a massa reduzida. Vamos usar um pouco de cálculo e física clássica para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as coordenadas do Centro de Massa (CM). As coordenadas
do CM são dadas por:
Aqui,
e
são as coordenadas das massas
e
, respectivamente. Essas fórmulas nos dão a posição do CM em cada direção.
Passo 3
Agora, vamos considerar as coordenadas relativas. Definimos o vetor posição relativo
como:
onde
e
. Esse vetor representa a posição de
em relação a
.
Passo 4
A próxima etapa é escrever a Lagrangiana do sistema. A Lagrangiana
é dada pela diferença entre a energia cinética
e a energia potencial
:
Vamos calcular a energia cinética total do sistema. A energia cinética de cada massa é:
Então, a energia cinética total é
.
Passo 5
A energia potencial total do sistema inclui a energia potencial gravitacional e a energia potencial de interação:
Aqui,
e
são as energias potenciais devido ao campo gravitacional uniforme, e
é a energia potencial de interação entre as duas massas.
Passo 6
Agora, precisamos expressar a Lagrangiana em termos das coordenadas do CM e das coordenadas relativas. Fazendo as substituições, a Lagrangiana se separa em duas partes:
onde:
Aqui,
é a massa reduzida.
Passo 7
Agora, vamos deduzir as equações de Lagrange para as coordenadas do CM
. Usando as equações de Lagrange:
onde
representa
.
Para
e
, como não há potenciais dependentes dessas coordenadas, obtemos:
Isso indica que as acelerações do CM nas direções
e
são nulas, ou seja, o CM se move com velocidade constante nessas direções.
Passo 8
Para a coordenada
, temos a energia potencial gravitacional:
Aplicando a equação de Lagrange:
Simplificando:
Isso mostra que o CM tem uma aceleração igual à aceleração gravitacional
na direção
, como esperado.
Passo 9
Agora, vamos para as coordenadas relativas. A Lagrangiana relativa é:
Aplicamos as equações de Lagrange para a coordenada
:
Isso resulta na equação de movimento para
:
Passo 10
Essa última equação mostra que a movimentação da coordenada relativa
é equivalente à movimentação de uma única partícula de massa reduzida
sob a influência da potencial
. Ou seja, podemos tratar o sistema de duas partículas como se fosse uma única partícula com massa
, simplificando bastante a análise do movimento relativo.
Resposta
Deduziu-se que as equações de Lagrange para as coordenadas do Centro de Massa
mostram que o CM se move com aceleração constante
e
. Para as coordenadas relativas, a equação de movimento é
, indicando que o movimento relativo de
é igual ao de uma única partícula de massa reduzida
sob a ação da energia potencial
.