Embora o tópico principal deste capítulo seja o movimento de duas partículas que não estão sujeitas a forças externas, muitas das ideias [por exemplo, a separação da Lagrangiana em duas partes independentes , como na Equação (8.31)] se estendem facilmente para situações mais gerais. Para ilustrar isso, considere o seguinte: duas massas e se movem em um campo gravitacional uniforme e interagindo via energia potencial .
(b) Deduza as equações de Lagrange para as três coordenadas do e , e descreva o movimento do CM. Obtenha as três equações de Lagrange para as coordenadas relativas e mostre claramente que o movimento de é o mesmo que o de uma única partícula de massa igual à massa reduzida , com posição r e a energia potencial .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas massas, e , que se movimentam em um campo gravitacional uniforme e interagem entre si através de uma energia potencial . Nosso objetivo é deduzir as equações de Lagrange para as coordenadas do Centro de Massa (CM) e para as coordenadas relativas, e mostrar que o movimento relativo é igual ao de uma única partícula com massa reduzida , posição e energia potencial .
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de Lagrangiana, coordenadas do centro de massa, coordenadas relativas, e a massa reduzida. Vamos usar um pouco de cálculo e física clássica para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as coordenadas do Centro de Massa (CM). As coordenadas do CM são dadas por:
Aqui, e são as coordenadas das massas e , respectivamente. Essas fórmulas nos dão a posição do CM em cada direção.

Passo 3

Agora, vamos considerar as coordenadas relativas. Definimos o vetor posição relativo como:
onde e . Esse vetor representa a posição de em relação a .

Passo 4

A próxima etapa é escrever a Lagrangiana do sistema. A Lagrangiana é dada pela diferença entre a energia cinética e a energia potencial :
Vamos calcular a energia cinética total do sistema. A energia cinética de cada massa é:
Então, a energia cinética total é .

Passo 5

A energia potencial total do sistema inclui a energia potencial gravitacional e a energia potencial de interação:
Aqui, e são as energias potenciais devido ao campo gravitacional uniforme, e é a energia potencial de interação entre as duas massas.

Passo 6

Agora, precisamos expressar a Lagrangiana em termos das coordenadas do CM e das coordenadas relativas. Fazendo as substituições, a Lagrangiana se separa em duas partes:
onde:
Aqui, é a massa reduzida.

Passo 7

Agora, vamos deduzir as equações de Lagrange para as coordenadas do CM . Usando as equações de Lagrange:
onde representa .
Para e , como não há potenciais dependentes dessas coordenadas, obtemos:
Isso indica que as acelerações do CM nas direções e são nulas, ou seja, o CM se move com velocidade constante nessas direções.

Passo 8

Para a coordenada , temos a energia potencial gravitacional:
Aplicando a equação de Lagrange:
Simplificando:
Isso mostra que o CM tem uma aceleração igual à aceleração gravitacional na direção , como esperado.

Passo 9

Agora, vamos para as coordenadas relativas. A Lagrangiana relativa é:
Aplicamos as equações de Lagrange para a coordenada :
Isso resulta na equação de movimento para :

Passo 10

Essa última equação mostra que a movimentação da coordenada relativa é equivalente à movimentação de uma única partícula de massa reduzida sob a influência da potencial . Ou seja, podemos tratar o sistema de duas partículas como se fosse uma única partícula com massa , simplificando bastante a análise do movimento relativo.

Resposta

Deduziu-se que as equações de Lagrange para as coordenadas do Centro de Massa mostram que o CM se move com aceleração constante e . Para as coordenadas relativas, a equação de movimento é , indicando que o movimento relativo de é igual ao de uma única partícula de massa reduzida sob a ação da energia potencial .

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