4.9 Exercícios
4.1 Calcule o campo elétrico gerado por uma chapa metálica quadrada de lado
, com uma carga
distribuída de forma homogênea sobre a sua superfície. Estude os limites em que a chapa é semi-infinita e infinita.
4.1 Calcule o campo elétrico gerado por uma chapa metálica quadrada de lado
Passo 1
O enunciado pede o campo elétrico de uma chapa quadrada de lado
com carga total
uniformemente distribuída sobre a superfície. O conteúdo necessário é o uso da lei de Coulomb para distribuição contínua de carga e simetria: só haverá componente normal ao plano da chapa. Definimos densidade superficial
e vamos calcular
no eixo perpendicular ao centro da chapa, a uma distância
.
Passo 2
Escolhemos coordenadas cartesianas de modo que a chapa esteja no plano
, ocupando
,
. Um elemento de área é
, contribui com
e só a componente
sobrevive por simetria. Como
e
,
Passo 3
Integramos em
e
sobre a área do quadrado. O resultado padrão para a integral dupla leva à forma
Passo 4
Substituindo
, obtemos finalmente
com direção perpendicular à chapa (no sentido de afastar carga positiva).
Passo 5
Limite semi-infinito: se a chapa for retangular de lados
e
e deixarmos
(infinita em
, largura finita
), o campo torna-se
No caso quadrado, basta trocar
.
Passo 6
Limite de chapa infinita em ambos os eixos (
ou
e
): como
,
que é o campo clássico de um plano infinito uniformemente carregado.
Resposta
limite semi-infinito (retângulo
):
limite infinito em ambos os eixos: