4.9 Exercícios
4.1 Calcule o campo elétrico gerado por uma chapa metálica quadrada de lado \ell, com uma carga Q distribuída de forma homogênea sobre a sua superfície. Estude os limites em que a chapa é semi-infinita e infinita.

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico de uma chapa quadrada de lado \ell com carga total Q uniformemente distribuída sobre a superfície. O conteúdo necessário é o uso da lei de Coulomb para distribuição contínua de carga e simetria: só haverá componente normal ao plano da chapa. Definimos densidade superficial
\sigma = \frac{Q}{\ell^2}
e vamos calcular E_z no eixo perpendicular ao centro da chapa, a uma distância z.

Passo 2

Escolhemos coordenadas cartesianas de modo que a chapa esteja no plano xy, ocupando -\frac\ell2\le x\le\frac\ell2, -\frac\ell2\le y\le\frac\ell2. Um elemento de área é dS=dx\,dy, contribui com
d\mathbf E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\sigma\,dS}{r^2}\,\hat{\mathbf r}
e só a componente z sobrevive por simetria. Como r^2=x^2+y^2+z^2 e \cos\theta = z/r,
dE_z = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\sigma\,\frac{z\,dx\,dy}{\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)^{3/2}}.

Passo 3

Integramos em x e y sobre a área do quadrado. O resultado padrão para a integral dupla leva à forma
E_z \;=\;\frac{\sigma}{4\pi\varepsilon_0}\, \bigl[ \arctan\!\tfrac{x\,y}{z\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \bigr]_{x,y=-\frac\ell2}^{x,y=+\frac\ell2} \;=\;\frac{\sigma}{\pi\varepsilon_0}\, \arctan\!\Bigl(\frac{\ell^2}{4\,z\,\sqrt{\tfrac{\ell^2}{2}+z^2}}\Bigr).

Passo 4

Substituindo \sigma=Q/\ell^2, obtemos finalmente
E_z(z) \;=\; \frac{Q}{\pi\varepsilon_0\,\ell^2}\, \arctan\!\Bigl(\frac{\ell^2}{4\,z\,\sqrt{\tfrac{\ell^2}{2}+z^2}}\Bigr),
com direção perpendicular à chapa (no sentido de afastar carga positiva).

Passo 5

Limite semi-infinito: se a chapa for retangular de lados a e b e deixarmos a\to\infty (infinita em x, largura finita b), o campo torna-se
E_z(z) = \frac{\sigma}{2\pi\varepsilon_0}\, 2\,\arctan\!\Bigl(\frac{b}{2\,z}\Bigr) = \frac{\sigma}{\pi\varepsilon_0}\, \arctan\!\Bigl(\frac{b}{2\,z}\Bigr).
No caso quadrado, basta trocar b=\ell.

Passo 6

Limite de chapa infinita em ambos os eixos ( \ell\to\infty ou b\to\infty e a\to\infty): como \arctan(\cdot)\to\pi/2,
E_z \;\longrightarrow\;\frac{\sigma}{\pi\varepsilon_0}\,\frac{\pi}{2} \;=\; \frac{\sigma}{2\,\varepsilon_0},
que é o campo clássico de um plano infinito uniformemente carregado.

Resposta

E_z(z) = \frac{Q}{\pi\varepsilon_0\,\ell^2}\, \arctan\!\Bigl(\frac{\ell^2}{4\,z\,\sqrt{\tfrac{\ell^2}{2}+z^2}}\Bigr),
limite semi-infinito (retângulo a\to\infty,\,b=\ell):
E_z(z)=\frac{\sigma}{\pi\varepsilon_0}\,\arctan\!\Bigl(\frac{\ell}{2z}\Bigr),
limite infinito em ambos os eixos:
E_z=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.