Q.C Um fio de cobre tem seção transversal circular de raio 1,25 \mathrm{~mm}. (a) Se o fio conduzir uma corrente de 3,70 \mathrm{~A}, determine a velocidade escalar de deriva dos elétrons nele. (b) Se todos os outros fatores forem iguais, o que ocorrerá à velocidade escalar de deriva nos fios feitos de um metal com número de elétrons de condução por átomo maior que o do cobre? Explique.

Passo 1

O enunciado pede a velocidade de deriva dos elétrons em um fio de cobre de raio r=1,25,mm que conduz corrente I=3,70,A e, em seguida, quer saber como varia essa velocidade se o número de elétrons de condução por átomo Z for maior. O conteúdo é a relação entre corrente elétrica e velocidade de deriva:
I = n e A v_d,
onde n é a densidade de elétrons de condução, e a carga elementar, A a área da seção e v_d a velocidade de deriva. Precisamos de:
– A área A=\pi r^2.
– A densidade n = Z\,\rho\,N_A/M, com \rho densidade do cobre, N_A número de Avogadro e M massa molar.

Passo 2

Calcular a área da seção e a densidade de elétrons de condução do cobre (onde Z=1):
A = \pi r^2 = \pi\,(1,25\times10^{-3}\,\mathrm{m})^2 \approx 4,91\times10^{-6}\,\mathrm{m^2}.
A densidade de massa do cobre é \rho=8,96\times10^{3}\,\mathrm{kg/m^3} e sua massa molar M=0,0635\,\mathrm{kg/mol}. Logo
n = \frac{Z\,\rho\,N_A}{M} = \frac{1 \times 8,96\times10^{3}\times6,022\times10^{23}}{0,0635} \approx 8,50\times10^{28}\,\mathrm{m^{-3}}.

Passo 3

Usar a fórmula da velocidade de deriva em módulo,
v_d = \frac{I}{n e A},
com e=1,602\times10^{-19}\,\mathrm{C}. Substituindo,
v_d = \frac{3,70}{(8,50\times10^{28})(1,602\times10^{-19})(4,91\times10^{-6})} \approx 5,5\times10^{-5}\,\mathrm{m/s}.

Passo 4

Para um metal com Z maior, mantendo-se \rho, A e I iguais, a densidade n cresce proporcionalmente a Z. Como v_d\propto1/n, um n maior implica v_d menor. Portanto, em metais com mais elétrons de condução por átomo, a velocidade de deriva será menor.

Resposta

a) \displaystyle v_d\approx5,5\times10^{-5}\,\mathrm{m/s}.
b) Se Z aumenta, n aumenta e, como v_d=I/(n e A), a velocidade de deriva diminui.