GTC No fluxo ideal, um líquido de densidade
move-se de um tubo horizontal de raio
para um segundo tubo horizontal de raio
na mesma elevação que o primeiro. A pressão difere por
entre o líquido no primeiro tubo e o do segundo. (a) Encontre a taxa de fluxo de volume como uma função de
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um líquido com densidade de
que flui de um tubo horizontal com raio de
para outro tubo horizontal com raio de
, mantendo-se na mesma elevação. A pressão nos dois tubos difere por
. Precisamos encontrar a taxa de fluxo de volume (
) em função dessa diferença de pressão (
). Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Dinâmica de Fluidos e aplicar a Equação da Continuidade e a Lei de Poiseuille.
Passo 2
Primeiro, vamos converter os raios dos tubos para metros, já que as unidades padrão no SI para cálculo de fluxo são em metros.
Passo 3
A Equação da Continuidade nos diz que, para um fluxo incompressível, o fluxo de volume é constante em qualquer seção do tubo. Ou seja:
Onde:
-
e são as áreas das seções dos tubos. -
e são as velocidades do líquido nos tubos 1 e 2, respectivamente.
Vamos calcular as áreas:
Para o primeiro tubo:
Para o segundo tubo:
Passo 4
Agora, vamos relacionar as velocidades usando a Equação da Continuidade:
Isso significa que a velocidade no segundo tubo é quatro vezes a velocidade no primeiro tubo.
Passo 5
Para encontrar a taxa de fluxo de volume
, precisamos relacioná-la com a diferença de pressão
. Em um fluxo ideal e incompressível através de tubos de diâmetro diferentes, podemos usar uma versão simplificada da Lei de Poiseuille para relacionar
e
:
Onde:
-
é a viscosidade do líquido (como o fluxo é ideal, consideramos , mas para manter a relação com , vamos rearranjar a fórmula).
Mas, para fluxo ideal sem viscosidade, a relação entre pressão e fluxo pode ser mais diretamente ligada à conservação de energia. Vamos considerar que a diferença de pressão é responsável por acelerar o líquido no segundo tubo.
Passo 6
Vamos considerar a aplicação da Equação de Bernoulli, que para dois pontos em linha de fluxo ideal sem altura diferente é:
Onde:
-
-
é a densidade do líquido.
Substituindo
:
Como velocidade não pode ser negativa, descartamos o sinal negativo:
Passo 7
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a Equação da Continuidade:
Substituindo os valores:
Resposta
A taxa de fluxo de volume
em função da diferença de pressão
é: