GTC No fluxo ideal, um líquido de densidade move-se de um tubo horizontal de raio para um segundo tubo horizontal de raio na mesma elevação que o primeiro. A pressão difere por entre o líquido no primeiro tubo e o do segundo. (a) Encontre a taxa de fluxo de volume como uma função de .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um líquido com densidade de que flui de um tubo horizontal com raio de para outro tubo horizontal com raio de , mantendo-se na mesma elevação. A pressão nos dois tubos difere por . Precisamos encontrar a taxa de fluxo de volume ( ) em função dessa diferença de pressão ( ). Para resolver isso, vamos usar os conceitos de Dinâmica de Fluidos e aplicar a Equação da Continuidade e a Lei de Poiseuille.

Passo 2

Primeiro, vamos converter os raios dos tubos para metros, já que as unidades padrão no SI para cálculo de fluxo são em metros.

Passo 3

A Equação da Continuidade nos diz que, para um fluxo incompressível, o fluxo de volume é constante em qualquer seção do tubo. Ou seja:
Onde:
  • e são as áreas das seções dos tubos.
  • e são as velocidades do líquido nos tubos 1 e 2, respectivamente.
Vamos calcular as áreas:
Para o primeiro tubo:
Para o segundo tubo:

Passo 4

Agora, vamos relacionar as velocidades usando a Equação da Continuidade:
Isso significa que a velocidade no segundo tubo é quatro vezes a velocidade no primeiro tubo.

Passo 5

Para encontrar a taxa de fluxo de volume , precisamos relacioná-la com a diferença de pressão . Em um fluxo ideal e incompressível através de tubos de diâmetro diferentes, podemos usar uma versão simplificada da Lei de Poiseuille para relacionar e :
Onde:
  • é a viscosidade do líquido (como o fluxo é ideal, consideramos , mas para manter a relação com , vamos rearranjar a fórmula).
Mas, para fluxo ideal sem viscosidade, a relação entre pressão e fluxo pode ser mais diretamente ligada à conservação de energia. Vamos considerar que a diferença de pressão é responsável por acelerar o líquido no segundo tubo.

Passo 6

Vamos considerar a aplicação da Equação de Bernoulli, que para dois pontos em linha de fluxo ideal sem altura diferente é:
Onde:
  • é a densidade do líquido.
Substituindo :
Como velocidade não pode ser negativa, descartamos o sinal negativo:

Passo 7

Agora que temos , podemos encontrar usando a Equação da Continuidade:
Substituindo os valores:

Resposta

A taxa de fluxo de volume em função da diferença de pressão é:

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