**30. Um isótopo do berílio (massa atômica =7,017 \mathrm{u} ) emite um raio \gamma e recua com uma velocidade de 2,19 \times 10^{4} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Supondo que o núcleo do berílio esteja inicialmente em repouso, ache o comprimento de onda do raio \gamma.

Passo 1

O enunciado diz que um núcleo de berílio, com massa atômica de 7,017\,\mathrm{u}, em repouso emite um fóton \gamma e como reação sai “recuando” com velocidade v = 2,19\times10^{4}\,\mathrm{m/s}. O que precisamos usar é a conservação do momento linear: o momento do fóton (que vale \displaystyle p_{\gamma} = \frac{h}{\lambda}) deve igualar o momento de recuo do núcleo \displaystyle m\,v.

Passo 2

Primeiro convertemos a massa do núcleo de unidades atômicas para quilogramas. Sabendo que
1\,\mathrm{u} = 1{,}66054\times10^{-27}\,\mathrm{kg},
temos
m = 7{,}017\,\mathrm{u} \times 1{,}66054\times10^{-27}\,\mathrm{kg/u} = 7{,}017\times1{,}66054\times10^{-27}\,\mathrm{kg} \approx 1{,}1652\times10^{-26}\,\mathrm{kg}.

Passo 3

Pelo princípio da conservação do momento linear, o núcleo (inicialmente em repouso) adquire momento igual e oposto ao do fóton:
p_{\gamma} = m\,v.
Substituindo,
p_{\gamma} = \bigl(1{,}1652\times10^{-26}\,\mathrm{kg}\bigr)\times\bigl(2{,}19\times10^{4}\,\mathrm{m/s}\bigr) \approx 2{,}552\times10^{-22}\,\mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 4

Sabendo que o momento do fóton se relaciona com o comprimento de onda por
p_{\gamma} = \frac{h}{\lambda},
onde h = 6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}, podemos isolar \lambda:
\lambda = \frac{h}{p_{\gamma}}.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos:
\lambda = \frac{6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}}{2{,}552\times10^{-22}\,\mathrm{kg\cdot m/s}} \approx 2{,}60\times10^{-12}\,\mathrm{m}.

Resposta

O comprimento de onda do raio \gamma é aproximadamente
\lambda \approx 2{,}6\times10^{-12}\,\mathrm{m}.

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