4.2 No limite termodinâmico (quando as extensas propriedades do sistema se tornam infinitamente grandes, enquanto os intensivos permanecem constantes), o potencial q do sistema pode ser calculado por tomando apenas o maior termo na soma
\sum_{N_{r}=0}^{\infty} z_{N_{r}} Q_{N_{r}}(V, T)
Verifique esta declaração e interprete o resultado fisicamente.
no limite termodinâmico ( V\to\infty, N\to\infty, densidade e T fixos). A afirmação é que, nessa condição, basta tomar apenas o maior termo da soma para obter q. Vamos mostrar isso usando o método do ponto de máximo.
Passo 2
Cada termo da soma pode ser escrito como
z_{N_r}\,Q_{N_r}(V,T) = \exp\bigl[G(N_r)\bigr]
onde G(N) é uma função extensiva (proporcional a N\sim O(V)). Em somas de termos exponenciais extensivos, o maior expoente domina. Matematicamente, aproximamos a soma por um máximo de G(N), conforme o método de steepest descent.
Passo 3
Seja N^* o valor que maximiza G(N), isto é
\left.\frac{d}{dN}\,G(N)\right|_{N=N^*}=0.
Expandindo G(N) em série quadrática em torno de N^* e integrando, obtém-se
Fisicamente, isso significa que, no limite termodinâmico, apenas o macroestado com número de partículas N^* mais provável contribui de modo relevante. As flutuações em N são de ordem \sqrt{N}, desprezíveis frente a N\sim O(V).
Resposta
q \approx \ln\bigl(z_{N^*}\,Q_{N^*}(V,T)\bigr)
Física - RK Pathria, Paul Beale - Mecânica Estatística - Vol1 - 3ª Edição - Capítulo 4.Problemas - Ex. 4.2