4.2 No limite termodinâmico (quando as extensas propriedades do sistema se tornam infinitamente grandes, enquanto os intensivos permanecem constantes), o potencial q do sistema pode ser calculado por tomando apenas o maior termo na soma
\sum_{N_{r}=0}^{\infty} z_{N_{r}} Q_{N_{r}}(V, T)
Verifique esta declaração e interprete o resultado fisicamente.

Passo 1

O enunciado fala do potencial
q = \ln \Xi \quad\text{com}\quad \Xi = \sum_{N_r=0}^\infty z_{N_r}\,Q_{N_r}(V,T)
no limite termodinâmico ( V\to\infty, N\to\infty, densidade e T fixos). A afirmação é que, nessa condição, basta tomar apenas o maior termo da soma para obter q. Vamos mostrar isso usando o método do ponto de máximo.

Passo 2

Cada termo da soma pode ser escrito como
z_{N_r}\,Q_{N_r}(V,T) = \exp\bigl[G(N_r)\bigr]
onde G(N) é uma função extensiva (proporcional a N\sim O(V)). Em somas de termos exponenciais extensivos, o maior expoente domina. Matematicamente, aproximamos a soma por um máximo de G(N), conforme o método de steepest descent.

Passo 3

Seja N^* o valor que maximiza G(N), isto é
\left.\frac{d}{dN}\,G(N)\right|_{N=N^*}=0.
Expandindo G(N) em série quadrática em torno de N^* e integrando, obtém-se
\Xi \approx \exp\bigl[G(N^*)\bigr]\, \sqrt{\frac{2\pi}{-G''(N^*)}}.
Como \exp[G(N^*)]\sim e^{O(V)} cresce muito mais rápido que o fator \sqrt{V}, temos
\Xi \approx \exp\bigl[G(N^*)\bigr] = z_{N^*}\,Q_{N^*}(V,T).

Passo 4

Logo, o potencial fica
q = \ln\Xi \approx \ln\bigl(z_{N^*}\,Q_{N^*}(V,T)\bigr).
Fisicamente, isso significa que, no limite termodinâmico, apenas o macroestado com número de partículas N^* mais provável contribui de modo relevante. As flutuações em N são de ordem \sqrt{N}, desprezíveis frente a N\sim O(V).

Resposta

q \approx \ln\bigl(z_{N^*}\,Q_{N^*}(V,T)\bigr)