M Com métodos experimentais específicos, é possível produzir e observar em uma barra longa e fina tanto uma onda transversal, cuja velocidade depende principalmente da tensão na barra, quanto longitudinal, cuja velocidade é determinada pelo módulo de Young e a densidade do material, que é obtida pela expressão
. A onda transversal pode ser modelada como uma onda em uma corda esticada. Uma barra de metal, de 150 cm de comprimento, tem raio de 0,200 cm e uma massa de 50,9 g. O módulo de Young para o material é
. Qual deve ser a tensão na haste se a razão entre a velocidade das ondas longitudinais e a velocidade das ondas transversais for de 8,00 ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre ondas em uma barra de metal. A gente precisa comparar a velocidade das ondas longitudinais com as transversais. Vamos usar conceitos de velocidade de onda em materiais sólidos, considerando a tensão na barra, o módulo de Young e a densidade do material. Pra resolver, vamos precisar das fórmulas para a velocidade das ondas longitudinais e transversais, além de calcular a densidade a partir da massa e volume da barra.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a densidade (
) da barra. A densidade é massa dividida pelo volume. A massa (
) é 50,9 g, que convertemos para kg:
. O volume (
) de uma barra cilíndrica é
, onde
é o raio e
o comprimento. O raio é 0,200 cm, ou
, e o comprimento é 150 cm, ou
.
Então,
Passo 3
Agora, vamos lembrar as fórmulas das velocidades das ondas:
- Para ondas longitudinais:
onde
�� o módulo de Young e
é a densidade.
- Para ondas transversais em uma corda esticada:
onde
é a tensão e
é a massa por unidade de comprimento.
Vamos calcular
. A massa (
) é 0,0509 kg e o comprimento (
) é 1,5 m.
Passo 4
Sabemos que a razão entre as velocidades das ondas longitudinais e transversais é 8,00:
Substituindo as fórmulas das velocidades:
Elevando ambos os lados ao quadrado para simplificar:
Rearranjando para encontrar
:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores conhecidos:
Substituindo na fórmula:
Calculando o denominador:
Agora,
Resposta
A tensão na haste deve ser aproximadamente
.