Na molécula de iodeto de potássio (KI), suponha que os átomos K e I se ligam ionicamente pela transferência de um elétron de K a I. (a) A energia de ionização de K é 4,34 eV e a afinidade de elétrons de I é 3,06 eV. Qual energia é necessária para transferir um elétron de K a I para formar íons K^+e I^-a partir de átomos neutros? Essa quantidade, por vezes, é chamada energia de ativação Ea. (b) Uma função energia potencial para a molécula KI é o potencial de Lennard-Jones:
U(r)=4 varepsilon[(sigmar)^12-(sigmar)^6]+Ea
onde r é a distância de separação internuclear e varepsilon e sigma são parâmetros ajustáveis. O termo Ea é acrescentado para assegurar o comportamento assintótico correto para r grande. Na distância de separação de equilíbrio, r=r0=0,305 nm, U(r) é mínimo e d U / d r=0. Além disso, U(r0) é o negativo da energia de dissociação: U(r0)=-3,37 eV. Encontre sigma e varepsilon. (c) Calcule a força necessária para quebrar uma molécula KI. (d) Calcule a constante de força para pequenas oscilações em r=r0. Sugestão: Tome r=r0+s, onde s / r0 ll 1, e expanda U(r) nas potências de s / r0 para termos de segunda ordem.

Passo 1

O enunciado trata da ligação iônica em KI, onde se transfere um elétron de K para I. Precisamos calcular:
  • (a) a energia de ativação Ea, que é a diferença entre a energia de ionização de K e a afinidade eletrônica de I;
  • (b) os parâmetros sigma e varepsilon do potencial de Lennard-Jones
    U(r)=4varepsilonl[l(tfracsigmarr)^12-l(tfracsigmarr)^6r]+Ea,
    sabendo que em r0=0,305,nm vale U'(r0)=0 e U(r0)=-3,37,eV;
  • (c) a força máxima de atração (isto é, a força necessária para “quebrar” a molécula), obtida no máximo da curva F(r)=-U'(r);
  • (d) a constante de força k para pequenas oscilações em torno de r0, via expansão de U(r) até termos de segunda ordem.

Passo 2

(a) A energia de ativação é
Ea = IE(K) - EA(I) = 4,34,eV - 3,06,eV = 1,28,eV

Passo 3

(b) Em r=r0 temos U'(r0)=0. Calculando
U'(r) =4varepsilonl[-12sigma^12r^-13+6sigma^6r^-7r],
a condição U'(r0)=0
12sigma^12/r0^13 = 6sigma^6/r0^7 Longrightarrow 2sigma^6=r0^6 Longrightarrow sigma = r02^1/6
Além disso, em r0 vale
U(r0) =4varepsilonl[l(tfracsigmar0r)^12 -l(tfracsigmar0r)^6r] +Ea =-3,37,eV
Como sigma^6/r0^6=1/2, tem-se (sigma/r0)^12=1/4 e (sigma/r0)^6=1/2, logo
4varepsilonl(tfrac14-tfrac12r)+Ea=-varepsilon+Ea=-3,37,eV Longrightarrow varepsilon = 3,37+1,28 = 4,65,eV
Numericamente, com r0=0,305,nm, obtemos
sigma = 0,3052^1/6approx 0,272 nm, varepsilon = 4,65 eV

Passo 4

(c) A força é F(r)=-U'(r). A máxima atração ocorre onde F'(r)=0, que leva a
rmax = l(tfrac267r)^1/6sigmaapprox1,2447,sigmaapprox0,338 nm
Avaliamo-la em módulo:
Fmax = l|,4varepsilonl[12sigma^12/rmax^13 -6sigma^6/rmax^7r]r| approx 6,6times10^-9,N

Passo 5

(d) Para pequenas oscilações, r=r0+s com |s|ll r0, monta-se a expansão até segundo ordem:
U(r)approx U(r0) + tfrac12,k,s^2,
once
k = U''(r0) =4varepsilonl[156sigma^12/r0^14 -42sigma^6/r0^8r] =72,varepsilonr0^2
Substituindo varepsilon=4,65,eV (7,45times10^-19,J) e r0=0,305,nm,
kapprox 72times7,45times10^-19(3,05times10^-10)^2 approx 5,76times10^2,N/m

Resposta

(a) Ea=1,28,eV.
(b) sigmaapprox0,272,nm e varepsilonapprox4,65,eV.
(c) Fmaxapprox6,6times10^-9,N.
(d) kapprox5,8times10^2,N/m.

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