Mostrar que grad
é perpendicular à superfície equipotencial que passa pelo ponto onde grad
é tomado.
Passo 1
O enunciado quer que mostremos que o vetor
é ortogonal à superfície equipotencial de
que passa pelo ponto
onde avaliamos o gradiente. O conteúdo aqui é a relação entre gradiente de uma função composta e a geometria das superfícies de nível (também chamadas de equipotenciais).
Passo 2
Suponha que
dependa apenas de
, isto é,
. Então pela regra da cadeia, para cada coordenada
temos
Em forma vetorial, isso dá
Passo 3
Como
é um escalar, concluímos que
Ou seja,
é paralelo a
.
Passo 4
É um fato fundamental da geometria de superfícies de nível que, em um ponto
, o vetor
é ortogonal à superfície
. Isso vem de considerar qualquer curva
contida na superfície de nível, com
. Como
é constante,
mostrando que
é perpendicular a todo vetor tangente
.
Passo 5
Juntando tudo: visto que
é paralelo a
(Passo 3) e que
é ortogonal à superfície de nível
(Passo 4), segue que
Resposta
Portanto,
é perpendicular à superfície equipotencial de
que passa pelo ponto considerado.