Mostrar que grad \delta é perpendicular à superfície equipotencial que passa pelo ponto onde grad \varrho é tomado.

Passo 1

O enunciado quer que mostremos que o vetor \nabla \delta é ortogonal à superfície equipotencial de \rho que passa pelo ponto P onde avaliamos o gradiente. O conteúdo aqui é a relação entre gradiente de uma função composta e a geometria das superfícies de nível (também chamadas de equipotenciais).

Passo 2

Suponha que \delta dependa apenas de \rho, isto é, \delta=\delta(\rho). Então pela regra da cadeia, para cada coordenada x_i temos
\frac{\partial \delta}{\partial x_i} =\frac{d\delta}{d\rho}\,\frac{\partial \rho}{\partial x_i}.
Em forma vetorial, isso dá
\nabla \delta =\frac{d\delta}{d\rho}\,\nabla \rho.

Passo 3

Como \tfrac{d\delta}{d\rho} é um escalar, concluímos que
\nabla \delta \parallel \nabla \rho.
Ou seja, \nabla \delta é paralelo a \nabla \rho.

Passo 4

É um fato fundamental da geometria de superfícies de nível que, em um ponto P, o vetor \nabla \rho(P) é ortogonal à superfície \{\rho=\rho(P)\}. Isso vem de considerar qualquer curva \gamma(t) contida na superfície de nível, com \gamma(0)=P. Como \rho(\gamma(t)) é constante,
0 =\frac{d}{dt}\Bigl[\rho(\gamma(t))\Bigr]_{t=0} =\nabla \rho(P)\cdot \gamma'(0),
mostrando que \nabla \rho(P) é perpendicular a todo vetor tangente \gamma'(0).

Passo 5

Juntando tudo: visto que \nabla \delta é paralelo a \nabla \rho (Passo 3) e que \nabla \rho é ortogonal à superfície de nível \rho=\rho(P) (Passo 4), segue que
\nabla \delta \;\perp\; \{\rho=\rho(P)\}.

Resposta

Portanto, \nabla \delta é perpendicular à superfície equipotencial de \rho que passa pelo ponto considerado.