Os ossos de um animal encontrados em uma escavação arqueológica têm uma atividade de carbono { }_{6}^{14} \mathrm{C} de 0,10 \mathrm{~Bq} por grama de carbono. A meia-vida do isótopo de carbono { }_{6}^{14} \mathrm{C} é igual a 5730 anos. Qual das seguintes opções melhor descreve a idade dos ossos? (a) Ela é menor do que 2000 anos. (b) Ela está entre 2000 e 3000 anos. (c) Ela está entre 3000 e 4000 anos. (d) Ela está entre 4000 e 5000 anos. (e) Ela é maior do que 5000 anos.

Passo 1

O enunciado diz que a atividade de {}^{14}\!C nos ossos é de 0,10\\ \mathrm{Bq/g} de carbono e que a meia-vida desse isótopo é T_{1/2}=5730 anos. Queremos estimar o tempo t decorrido desde a morte do animal usando a lei de decaimento radioativo.

Passo 2

A lei de decaimento exponencial é
A(t) = A_0\,e^{-\lambda t},
onde A_0 é a atividade inicial (em vida) e \lambda é a constante de decaimento. Como \lambda se relaciona com a meia-vida por
\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}},
podemos reescrever
A(t) = A_0 \left(\tfrac12\right)^{t/T_{1/2}}.

Passo 3

Precisamos de A_0, a atividade típica de carbono vivo. Em média, toma-se
A_0 \approx 0,226\\ \mathrm{Bq/g}.
Essa é a atividade de {}^{14}\!C em carbono contemporâneo.

Passo 4

Isolando t em
\frac{A(t)}{A_0} = \left(\tfrac12\right)^{t/T_{1/2}}
vem
t = T_{1/2}\,\frac{\ln\!\bigl(A_0/A(t)\bigr)}{\ln 2}.
Substituindo A_0=0,226\\ \mathrm{Bq/g} e A(t)=0,10\\ \mathrm{Bq/g}:
\frac{A_0}{A(t)} = \frac{0,226}{0,10} = 2{,}26,
t = 5730\;\frac{\ln(2{,}26)}{\ln 2} \approx 5730\;\frac{0{,}816}{0{,}693} \approx 5730 \times 1{,}18 \approx 6760\\ \text{anos}.

Passo 5

O tempo calculado ( \approx 6760 anos) é maior que 5000 anos.

Resposta

(e) Ela é maior do que 5000 anos.