É \overrightarrow{\mathbf{F}} igual a m \overrightarrow{\mathbf{a}} em Relatividade? É m \overrightarrow{\mathbf{a}} igual a (d / d t)(m \overrightarrow{\mathbf{u}}) na Relatividade?

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas em Relatividade Especial:
  1. Será que vale
\vec{F}=m\vec{a}?
  1. Será que
m\,\vec{a}=\frac{d}{dt}\bigl(m\,\vec{u}\bigr)
na Relatividade?
Para responder, precisamos ver como se define força, massa e momento no contexto relativístico.

Passo 2

Na Relatividade define-se o momento linear relativístico
\vec{p} = m_0\,\gamma\,\vec{u},
onde m_0 é a massa de repouso, \vec{u}=d\vec{x}/dt é a velocidade e
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^2}{c^2}}}\,.
A força é definida como a taxa de variação do momento:
\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}\,.

Passo 3

Vamos derivar
\vec{F} = \frac{d}{dt}\bigl(m_0\,\gamma\,\vec{u}\bigr) = m_0\frac{d(\gamma\,\vec{u})}{dt} = m_0\bigl(\gamma\,\vec{a} + \dot\gamma\,\vec{u}\bigr).
Como
\dot\gamma = \frac{d\gamma}{dt} = \gamma^3\,\frac{\vec{u}\cdot\vec{a}}{c^2},
obtém-se
\vec{F} = m_0\,\gamma\,\vec{a} + m_0\,\gamma^3\,\frac{\vec{u}\cdot\vec{a}}{c^2}\,\vec{u}.
Logo, em geral
\vec{F}\neq m_0\,\vec{a}.

Passo 4

Sobre
\displaystyle m\,\vec{a}=\frac{d}{dt}(m\,\vec{u}):
  • Se m for a massa de repouso m_0 (constante), então \frac{d}{dt}(m_0\,\vec{u}) = m_0\,\frac{d\vec{u}}{dt} = m_0\,\vec{a},mas isso não tem relação com a força física, pois o momento é m_0\gamma\vec{u}, não m_0\vec{u}.
  • Se por m entendermos a massa relativística m=\gamma\,m_0, então \frac{d}{dt}(m\,\vec{u}) = \frac{d}{dt}(m_0\,\gamma\,\vec{u}) = \vec{F},porém aí m\,\vec{a}=m_0\,\gamma\,\vec{a}\neq\vec{F}.
Em nenhum caso surge \vec{F}=m\,\vec{a} como na Física Clássica.

Resposta

  • Não, em Relatividade Especial não vale \displaystyle\vec{F}=m\,\vec{a}.
  • Matemática e trivialmente \displaystyle m_0\,\vec{a}=\tfrac{d}{dt}(m_0\,\vec{u}) se m_0 for constante, mas isso não é a definição de força relativística.
  • A definição correta é \vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt}\bigl(m_0\,\gamma\,\vec{u}\bigr),e aí \vec{F}\neq m_0\,\vec{a}.