Q|C Uma concha esférica tem raio interno de e raio externo de . Ela é feita de material com condutividade térmica . O interior é mantido à temperatura de , e o exterior à temperatura de . Após um intervalo de tempo, a concha atinge um estado estável com a temperatura em cada ponto dentro dela permanecendo constante no tempo. (b) Em seguida, prove que:
onde é dado em graus Celsius, e , em metros.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma concha esférica com raios internos e externos, e quer que a gente prove uma certa igualdade envolvendo integrais de temperatura e raio. A matéria aqui é condução de calor em estado estacionário, usando a Lei de Fourier. Para resolver, vamos precisar entender como o calor flui através de uma esfera e aplicar a matemática para chegar na igualdade pedida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Fourier para condução de calor, que diz que a taxa de fluxo de calor através de uma área é proporcional ao gradiente de temperatura. Em coordenadas esféricas, para uma esfera com simetria radial, a equação fica:
Aqui, é a condutividade térmica, é o raio, e é a derivada da temperatura em relação ao raio.

Passo 3

No estado estacionário, o fluxo de calor é constante em todas as esferas concêntricas. Então, podemos escrever a equação da Lei de Fourier igual a :
Vamos rearranjar para isolar :

Passo 4

Para encontrar a variação da temperatura de 5°C a 40°C entre os raios internos e externos, vamos integrar ambos os lados da equação de :
Onde m e m.

Passo 5

Agora, vamos simplificar a integral do lado direito. A integral de em relação a é:
Aplicando os limites de integração:

Passo 6

Substituindo de volta na equação original, temos:
Multiplicando ambos os lados por e reconhecendo que , chegamos à igualdade que queríamos provar:

Resposta

Pronto! A igualdade foi provada conforme solicitado:

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