Q|C Uma concha esférica tem raio interno de
e raio externo de
. Ela é feita de material com condutividade térmica
. O interior é mantido à temperatura de
, e o exterior à temperatura de
. Após um intervalo de tempo, a concha atinge um estado estável com a temperatura em cada ponto dentro dela permanecendo constante no tempo. (b) Em seguida, prove que:
onde
é dado em graus Celsius, e
, em metros.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma concha esférica com raios internos e externos, e quer que a gente prove uma certa igualdade envolvendo integrais de temperatura e raio. A matéria aqui é condução de calor em estado estacionário, usando a Lei de Fourier. Para resolver, vamos precisar entender como o calor flui através de uma esfera e aplicar a matemática para chegar na igualdade pedida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Fourier para condução de calor, que diz que a taxa de fluxo de calor
através de uma área é proporcional ao gradiente de temperatura. Em coordenadas esféricas, para uma esfera com simetria radial, a equação fica:
Aqui,
é a condutividade térmica,
é o raio, e
é a derivada da temperatura em relação ao raio.
Passo 3
No estado estacionário, o fluxo de calor
é constante em todas as esferas concêntricas. Então, podemos escrever a equação da Lei de Fourier igual a
:
Vamos rearranjar para isolar
:
Passo 4
Para encontrar a variação da temperatura de 5°C a 40°C entre os raios internos e externos, vamos integrar ambos os lados da equação de
:
Onde
m e
m.
Passo 5
Agora, vamos simplificar a integral do lado direito. A integral de
em relação a
é:
Aplicando os limites de integração:
Passo 6
Substituindo de volta na equação original, temos:
Multiplicando ambos os lados por
e reconhecendo que
, chegamos à igualdade que queríamos provar:
Resposta
Pronto! A igualdade foi provada conforme solicitado: