Q|C Uma onda senoidal em uma corda é descrita pela função de onda:
onde
e
estão dados em metros e
em segundos. A massa por unidade de comprimento da corda é de
. (a) Encontre a aceleração transversal máxima de um elemento dessa corda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma onda senoidal na corda descrita pela função
, onde
e
são em metros e
em segundos. A massa por unidade de comprimento da corda é de
. Nosso objetivo aqui é encontrar a aceleração transversal máxima de um ponto nessa corda. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para obter a aceleração a partir da função de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração transversal de um ponto na corda é a segunda derivada da posição
em relação ao tempo
. Ou seja, se
nos dá a posição, então a aceleração
é:
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
em relação ao tempo
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação ao tempo
para obter a aceleração:
Simplificando:
Passo 5
A aceleração transversal máxima ocorre quando o seno é igual a 1 ou -1, já que o valor absoluto máximo de
é 1. Portanto, a aceleração máxima
é:
Resposta
A aceleração transversal máxima de um elemento da corda é
.