I Quatro cargas pontuais, cada uma com carga Q, estão localizadas nos vértices de um quadrado com lados de comprimento a. Determine as expressões para (a) o potencial elétrico total no centro do quadrado criado pelas quatro cargas, e (b) o trabalho requerido para deslocar uma quinta carga q do infinito para o centro do quadrado.

Passo 1

O enunciado diz que há quatro cargas pontuais, cada uma com carga Q, nos vértices de um quadrado de lado a. Precisamos calcular (a) o potencial elétrico total no centro do quadrado devido a essas quatro cargas e (b) o trabalho necessário para levar uma quinta carga q do infinito até esse centro. Vamos usar o potencial de Coulomb para carga pontual e o princípio da superposição, além da relação entre trabalho e energia potencial elétrica.

Passo 2

Determinar a distância r do centro do quadrado a cada vértice. Num quadrado de lado a, o centro forma com um vértice um triângulo isósceles de catetos a/2, logo
r = \sqrt{\bigl(\tfrac{a}{2}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{a}{2}\bigr)^2} = \frac{a}{\sqrt{2}}.

Passo 3

O potencial de Coulomb gerado por uma carga Q a distância r é
V_i = k\,\frac{Q}{r},
onde k = \tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}. Pelo princípio da superposição, o potencial total no centro é a soma dos quatro potenciais idênticos:
V_{\text{centro}} = \sum_{i=1}^{4} V_i = 4\,k\,\frac{Q}{r}.

Passo 4

Substituindo r = a/\sqrt2 em V_{\text{centro}}, obtemos
V_{\text{centro}} = 4\,k\,\frac{Q}{a/\sqrt2} = 4\,k\,\frac{Q\,\sqrt2}{a} = \frac{4\sqrt{2}\,k\,Q}{a}.

Passo 5

O trabalho necessário para trazer uma carga q do infinito até o centro equivale à variação da energia potencial elétrica, que é
W = q\,V_{\text{centro}} = q \,\frac{4\sqrt{2}\,k\,Q}{a} = \frac{4\sqrt{2}\,k\,Q\,q}{a}.

Resposta

(a) V_{\text{centro}} = \frac{4\sqrt{2}\,k\,Q}{a}.
(b) W = \frac{4\sqrt{2}\,k\,Q\,q}{a}.