Numa região onde há um campo elétrico e um campo magnético B mutuamente ortogonais, movem-se um próton e também um elétron, e a força de Lorentz sobre ambos é nula. Mostre que a velocidade de ambas as partículas é ortogonal a E e a B e que a razão entre as energias cinéticas do próton e do elétron é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre partículas carregadas (um próton e um elétron) que estão se movendo em uma região onde há um campo elétrico e um campo magnético , que são perpendiculares entre si. Além disso, a força de Lorentz sobre ambas as partículas é nula. Nosso objetivo é mostrar duas coisas:
  1. As velocidades das partículas são ortogonais tanto a quanto a .
  2. A razão entre as energias cinéticas do próton e do elétron é igual à razão entre suas massas, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da força de Lorentz e entender um pouco sobre energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da força de Lorentz, que descreve a força total que atua sobre uma partícula carregada em campos elétrico e magnético:
Aqui:
  • é a força de Lorentz.
  • é a carga da partícula.
  • é o campo elétrico.
  • é a velocidade da partícula.
  • é o campo magnético.
  • O símbolo indica o produto vetorial, que resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores envolvidos.

Passo 3

No enunciado, foi dito que a força de Lorentz sobre ambas as partículas é nula. Então podemos escrever para cada partícula:
Isso significa que:
Ou seja:

Passo 4

Agora, vamos analisar essa equação: . Sabemos que o produto vetorial entre dois vetores resulta em um vetor que é perpendicular a ambos. Então, isso nos diz que é perpendicular a e a .
Portanto, a velocidade das partículas deve ser perpendicular tanto a quanto a para que a força de Lorentz seja nula.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte do problema: mostrar que a razão entre as energias cinéticas do próton e do elétron é .
A energia cinética de uma partícula é dada por:
Onde:
  • é a energia cinética.
  • é a massa da partícula.
  • é a velocidade da partícula.
No nosso caso, tanto o próton quanto o elétron têm a mesma velocidade , pois a força de Lorentz é nula para ambos e estão se movendo nessas condições.

Passo 6

Vamos chamar a energia cinética do próton e a do elétron:
Agora, queremos a razão :

Resposta

Portanto, a velocidade das partículas é ortogonal aos campos e , e a razão entre as energias cinéticas do próton e do elétron é igual à razão entre suas massas:

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