Numa região onde há um campo elétrico
e um campo magnético B mutuamente ortogonais, movem-se um próton e também um elétron, e a força de Lorentz sobre ambos é nula. Mostre que a velocidade de ambas as partículas é ortogonal a E e a B e que a razão entre as energias cinéticas do próton e do elétron é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre partículas carregadas (um próton e um elétron) que estão se movendo em uma região onde há um campo elétrico
e um campo magnético
, que são perpendiculares entre si. Além disso, a força de Lorentz sobre ambas as partículas é nula. Nosso objetivo é mostrar duas coisas:
- As velocidades das partículas são ortogonais tanto a
quanto a . - A razão entre as energias cinéticas do próton e do elétron é igual à razão entre suas massas, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da força de Lorentz e entender um pouco sobre energia cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da força de Lorentz, que descreve a força total que atua sobre uma partícula carregada em campos elétrico e magnético:
Aqui:
-
é a força de Lorentz. -
é a carga da partícula. -
é o campo elétrico. -
é a velocidade da partícula. -
é o campo magnético. - O símbolo
indica o produto vetorial, que resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores envolvidos.
Passo 3
No enunciado, foi dito que a força de Lorentz sobre ambas as partículas é nula. Então podemos escrever para cada partícula:
Isso significa que:
Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos analisar essa equação:
. Sabemos que o produto vetorial entre dois vetores resulta em um vetor que é perpendicular a ambos. Então, isso nos diz que
é perpendicular a
e a
.
Portanto, a velocidade
das partículas deve ser perpendicular tanto a
quanto a
para que a força de Lorentz seja nula.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte do problema: mostrar que a razão entre as energias cinéticas do próton e do elétron é
.
A energia cinética de uma partícula é dada por:
Onde:
-
é a energia cinética. -
é a massa da partícula. -
é a velocidade da partícula.
No nosso caso, tanto o próton quanto o elétron têm a mesma velocidade
, pois a força de Lorentz é nula para ambos e estão se movendo nessas condições.
Passo 6
Vamos chamar
a energia cinética do próton e
a do elétron:
Agora, queremos a razão
:
Resposta
Portanto, a velocidade das partículas é ortogonal aos campos
e
, e a razão entre as energias cinéticas do próton e do elétron é igual à razão entre suas massas: