Uma roda de moagem possui a forma de um disco sólido uniforme de raio
e massa
. Ela começa do repouso e acelera uniformemente sob a ação de um torque constante de
que o motor exerce sobre a roda.
(a) Quanto tempo leva para a roda atingir sua velocidade operacional final de
?
(a) Quanto tempo leva para a roda atingir sua velocidade operacional final de
Passo 1
Este exercício fala sobre movimento rotacional, onde vamos descobrir quanto tempo uma roda leva para acelerar até uma certa velocidade usando conceitos como momento de inércia, torque e aceleração angular. Para resolver, vamos precisar calcular o momento de inércia da roda, determinar a aceleração angular proporcionada pelo torque e, por fim, usar essas informações para encontrar o tempo necessário para atingir a velocidade desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o momento de inércia (I) da roda. Como a roda tem a forma de um disco sólido, a fórmula para o momento de inércia é:
Onde:
-
é a massa da roda -
é o raio da roda
Passo 3
Substituindo os valores fornecidos:
- Massa
- Raio
Então,
Passo 4
Agora, vamos usar a relação entre torque (
), momento de inércia (
) e aceleração angular (
):
Queremos encontrar
, então rearranjamos a equação:
Passo 5
Em seguida, precisamos converter a velocidade final da roda de rotações por minuto (rpm) para radianos por segundo (rad/s). A fórmula para isso é:
Substituindo:
Passo 6
Agora, usamos a equação da cinemática rotacional para encontrar o tempo (
) necessário para atingir a velocidade final:
Como a roda parte do repouso,
:
Resposta
O tempo necessário para a roda atingir a velocidade operacional final é aproximadamente 1,03 segundos.