12.1 Sabendo que o símbolo dimensional que representa a corrente elétrica i é I, obtenha as dimensões da densidade de corrente J, da resistência \mathcal{R}, da resistividade \mathfrak{r}, da condutância \mathfrak{S}, da condutividade \mathfrak{s} e da força eletromotriz \mathfrak{E}.

Passo 1

O enunciado pede as dimensões das grandezas elétricas sabendo que o símbolo dimensional da corrente elétrica i é \mathrm{I}. Vamos usar análise dimensional em termos das grandezas base massa \mathrm{M}, comprimento \mathrm{L}, tempo \mathrm{T} e corrente elétrica \mathrm{I}. Precisaremos das definições:
– densidade de corrente J = i/A,
– resistência \mathcal{R} = \mathfrak{E}/i,
– resistividade \mathfrak{r} = \mathcal{R}\,A/L,
– condutância \mathfrak{S} = 1/\mathcal{R},
– condutividade \mathfrak{s} = 1/\mathfrak{r},
– força eletromotriz \mathfrak{E} (ddp).

Passo 2

Primeiro, a densidade de corrente J é a corrente por unidade de área. Em análise dimensional,
[A] = \mathrm{L}^2, \quad [i] = \mathrm{I},
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[J] = \frac{[i]}{[A]} = \frac{\mathrm{I}}{\mathrm{L}^2} = \mathrm{I}\,\mathrm{L}^{-2}.

Passo 3

A força eletromotriz \mathfrak{E} tem a mesma dimensão de diferença de potencial, que é energia por carga. Em dimensões:
[\text{energia}] = \mathrm{M}\,\mathrm{L}^2\,\mathrm{T}^{-2}, \quad [\text{carga}] = [i]\,[t] = \mathrm{I}\,\mathrm{T}.
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[\mathfrak{E}] = \frac{[\text{energia}]}{[\text{carga}]} = \frac{\mathrm{M}\,\mathrm{L}^2\,\mathrm{T}^{-2}}{\mathrm{I}\,\mathrm{T}} = \mathrm{M}\,\mathrm{L}^2\,\mathrm{T}^{-3}\,\mathrm{I}^{-1}.

Passo 4

A resistência elétrica \mathcal{R} é a razão entre a ddp e a corrente:
[\mathcal{R}] = \frac{[\mathfrak{E}]}{[i]} = \frac{\mathrm{M}\,\mathrm{L}^2\,\mathrm{T}^{-3}\,\mathrm{I}^{-1}}{\mathrm{I}} = \mathrm{M}\,\mathrm{L}^2\,\mathrm{T}^{-3}\,\mathrm{I}^{-2}.

Passo 5

A resistividade \mathfrak{r} relaciona-se à resistência de um material de comprimento L e área de seção A:
\mathfrak{r} = \mathcal{R}\,\frac{A}{L}.
Em dimensão,
[\mathfrak{r}] = [\mathcal{R}]\;\frac{[A]}{[L]} = \bigl(\mathrm{M}\,\mathrm{L}^2\,\mathrm{T}^{-3}\,\mathrm{I}^{-2}\bigr)\, \frac{\mathrm{L}^2}{\mathrm{L}} = \mathrm{M}\,\mathrm{L}^3\,\mathrm{T}^{-3}\,\mathrm{I}^{-2}.

Passo 6

A condutância \mathfrak{S} é o inverso da resistência:
[\mathfrak{S}] = \frac{1}{[\mathcal{R}]} = \mathrm{M}^{-1}\,\mathrm{L}^{-2}\,\mathrm{T}^3\,\mathrm{I}^2.

Passo 7

A condutividade \mathfrak{s} é o inverso da resistividade:
[\mathfrak{s}] = \frac{1}{[\mathfrak{r}]} = \mathrm{M}^{-1}\,\mathrm{L}^{-3}\,\mathrm{T}^3\,\mathrm{I}^2.

Resposta

[J] = \mathrm{I}\,\mathrm{L}^{-2}, \quad [\mathcal{R}] = \mathrm{M}\,\mathrm{L}^2\,\mathrm{T}^{-3}\,\mathrm{I}^{-2}, \quad [\mathfrak{r}] = \mathrm{M}\,\mathrm{L}^3\,\mathrm{T}^{-3}\,\mathrm{I}^{-2},
[\mathfrak{S}] = \mathrm{M}^{-1}\,\mathrm{L}^{-2}\,\mathrm{T}^3\,\mathrm{I}^2, \quad [\mathfrak{s}] = \mathrm{M}^{-1}\,\mathrm{L}^{-3}\,\mathrm{T}^3\,\mathrm{I}^2, \quad [\mathfrak{E}] = \mathrm{M}\,\mathrm{L}^2\,\mathrm{T}^{-3}\,\mathrm{I}^{-1}.