Suponha que um evento ocorra em S em x=100 \mathrm{~km}, y=10 \mathrm{~km}, z=1,0 \mathrm{~km} em t=5,0 \times 10^{-6} seg. Suponha que S ’ se mova em relação a S com uma velocidade de 0,92 c, ao longo do eixo comum x-x^{\prime}, as origens coincidindo no instante t^{\prime}=t=0. Quais são as coordenadas x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime} e t^{\prime} dêste evento em S^{\prime} ? Verifique a resposta usando a transformação inversa para obter o dado inicial.

Passo 1

O enunciado dá um evento cuja posição em S é
x = 100\text{ km},\quad y = 10\text{ km},\quad z = 1,0\text{ km}
e acontece em
t = 5,0 \times 10^{-6}\text{ s}.
O referencial S' move-se em relação a S com velocidade
v = 0,92\,c
ao longo do eixo x. As origens coincidem em t=t'=0.
Para passar de (x,t) em S para (x',t') em S' usamos as transformações de Lorentz:
\begin{aligned} x' &= \gamma\,(x - vt),\\\ t' &= \gamma\!\Bigl(t - \frac{v\,x}{c^2}\Bigr),\\\ y' &= y,\quad z' = z, \end{aligned}
onde \gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}.

Passo 2

Calcular o fator de Lorentz \gamma.
\beta = \frac{v}{c} = 0,92,\quad 1 - \beta^2 = 1 - 0,92^2 = 0,1536,\quad \gamma = \frac{1}{\sqrt{0,1536}} \approx 2,55.

Passo 3

Calcular x'. Converter unidades em km e s:
v\,t = 0,92\,c\,(5,0\times10^{-6}\,\mathrm{s}) = 0,92\cdot (3{,}0\times10^5\;\mathrm{km/s})\cdot5,0\times10^{-6}\,\mathrm{s} =1,38\;\mathrm{km}.
Logo
x' = \gamma\,(x - v\,t) = 2{,}55\,(100 - 1{,}38)\;\mathrm{km} = 2{,}55\times98{,}62\;\mathrm{km} \approx 251{,}5\;\mathrm{km}.

Passo 4

Calcular t'. Note que
\frac{v\,x}{c^2} = \frac{0,92\,c\cdot100\;\mathrm{km}}{c^2} =0,92\,\frac{100\;\mathrm{km}}{c} =0,92\cdot\frac{100}{3{,}0\times10^5}\;\mathrm{s} \approx3,07\times10^{-4}\;\mathrm{s}.
Assim
t' = \gamma\Bigl(t - \frac{v\,x}{c^2}\Bigr) =2{,}55\Bigl(5,0\times10^{-6} - 3,07\times10^{-4}\Bigr)\;\mathrm{s} \approx -7,70\times10^{-4}\;\mathrm{s}.

Passo 5

Como a velocidade é ao longo de x, as coordenadas transversas são invariantes:
y' = y = 10\;\mathrm{km},\quad z' = z = 1{,}0\;\mathrm{km}.

Passo 6

Verificação pela transformação inversa:
\begin{aligned} x &= \gamma\,(x' + v\,t') \approx2{,}55\bigl(251{,}5 + 0,92\,c\,(-7,70\times10^{-4})\bigr) \approx100\;\mathrm{km},\\\ t &= \gamma\!\Bigl(t' + \frac{v\,x'}{c^2}\Bigr) \approx2{,}55\Bigl(-7,70\times10^{-4} + \frac{0,92\,c\cdot251{,}5}{c^2}\Bigr) \approx5,0\times10^{-6}\;\mathrm{s}, \end{aligned}
recuperando os valores iniciais em S.

Resposta

x' \approx 2,515\times10^2\;\mathrm{km}
y' = 10\;\mathrm{km}
z' = 1{,}0\;\mathrm{km}
t' \approx -7,70\times10^{-4}\;\mathrm{s}