A tabela abaixo fornece os três módulos de elasticidade para vários materiais. De acordo com (16.100), o módulo de Young para qualquer material dado pode ser calculado se soubermos os módulos de compressibilidade e de cisalhamento. Usando os dados para MC e MS, calcule MY para cada um dos materiais e compare com os valores da terceira coluna. (As densidades serão necessárias para o Problema 16.32.)
Módulos de Elasticidade (em GPa) e densidades
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Material | MC | MS | MY |
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Ferro | 90 | 40 | 100 | 7,8 |
Aço | 140 | 80 | 200 | 7,8 |
Arenito | 17 | 6 | 16 | 1,9 |
Peroviskita | 270 | 150 | 390 | 4,1 |
Água | 2,2 | 0 | 0 | 1,0 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma tabela com três módulos de elasticidade para vários materiais: Módulo de Compressibilidade (MC), Módulo de Cisalhamento (MS) e Módulo de Young (MY), além das densidades. A gente precisa calcular o módulo de Young (MY) usando os valores de MC e MS fornecidos, e depois comparar com os valores que já estão na tabela. Para isso, vamos usar uma relação da matéria de elasticidade que conecta esses módulos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona os módulos de Elasticidade. A fórmula para calcular o Módulo de Young (E ou MY) em função do Módulo de Compressibilidade (K ou MC) e do Módulo de Cisalhamento (G ou MS) é:
Aqui,
representa o Módulo de Young,
é o Módulo de Compressibilidade, e
é o Módulo de Cisalhamento.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula para cada material da tabela.
Ferro
-
GPa -
GPa
Aço
-
GPa -
GPa
Arenito
-
GPa -
GPa
Perovskita
-
GPa -
GPa
Água
-
GPa -
GPa
Aqui, como o Módulo de Cisalhamento
, a fórmula fica:
Passo 4
Agora, vamos comparar os valores que calculamos com os valores fornecidos na tabela:
Material | MY Calculado (GPa) | MY da Tabela (GPa) |
---|---|---|
Ferro | 104,52 | 100 |
Aço | 201,6 | 200 |
Arenito | 16,11 | 16 |
Perovskita | 379,69 | 390 |
Água | 0 | 0 |
Resposta
Os valores de MY calculados estão muito próximos dos valores mostrados na tabela, confirmando a correção da relação utilizada:
- Ferro: 104,52 GPa ≈ 100 GPa
- Aço: 201,6 GPa ≈ 200 GPa
- Arenito: 16,11 GPa ≈ 16 GPa
- Perovskita: 379,69 GPa ≈ 390 GPa
- Água: 0 GPa = 0 GPa