O telhado de uma casa é um plano perfeitamente estável que forma um ângulo
com a horizontal. Quando sua temperatura muda, entre
antes do amanhecer todos os dias e
no meio de cada tarde, o telhado se expande e se contrai uniformemente com um coeficiente de expansão térmica
. Repousando no telhado está uma placa de metal plana e retangular com coeficiente de expansão
, maior que
. O comprimento da placa é
, medido ao longo da inclinação do telhado. O componente do peso da placa perpendicular ao telhado é suportado por uma força normal uniformemente distribuída por sua área. O coeficiente de atrito cinético entre a placa e o telhado é
. A placa sempre está à mesma temperatura que o telhado, então, supomos que sua temperatura mude continuamente. Devido à diferença nos coeficientes de expansão, cada parte da placa se move com relação ao telhado abaixo dela, exceto nos pontos ao longo de certa linha horizontal que passa pela placa, chamada linha estacionária. Se a temperatura sobe, partes da placa abaixo da linha estacionária se movem para baixo em relação ao telhado e sentem uma força de atrito cinética atuando no telhado. Elementos da área acima da linha estacionária deslizam para cima no telhado, e o atrito cinético atua sobre eles para baixo, paralelo ao telhado. A linha estacionária não ocupa nenhuma área, então supomos que nenhuma força de atrito estática atue sobre a placa enquanto a temperatura muda. A placa como um todo está muito próxima do equilíbrio, então a força de atrito resultante sobre ela deve ser igual ao componente de seu peso atuando para baixo na inclinação. E se o coeficiente de expansão da placa for menor que o do telhado? A placa vai subir o telhado lentamente?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma geral no que a questão está falando. Temos um telhado inclinado que forma um ângulo
com a horizontal. Esse telhado e uma placa de metal super legal estão sujeitos a variações de temperatura, o que faz com que ambos se expandam ou contraiam. A expansão térmica é medida por um coeficiente específico para cada material:
para o telhado e
para a placa, sendo
maior que
nesse caso inicial. A placa tem um comprimento
ao longo do telhado e está sujeita a forças de atrito devido ao peso e à inclinação. Queremos entender o que acontece com a placa quando seu coeficiente de expansão térmica é menor que o do telhado, ou seja, se
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de expansão térmica, forças de atrito e equilíbrio de forças em planos inclinados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de como a expansão térmica funciona. Quando a temperatura de um material aumenta, ele tende a se expandir. A quantidade de expansão
é dada pela fórmula:
Aqui,
é o coeficiente de expansão térmica,
é o comprimento original e
é a variação de temperatura.
Passo 3
No nosso caso, tanto o telhado quanto a placa estão sujeitos a uma variação de temperatura diária de
para
. Como
, isso significa que o telhado se expande mais que a placa quando a temperatura aumenta.
Passo 4
A diferença na expansão faz com que haja movimento relativo entre a placa e o telhado. Uma linha estacionária se forma onde a expansão do telhado e da placa se igualam. Acima dessa linha, a placa fica “pendurada” e tenta deslizar para cima do telhado, enquanto abaixo dela, tenta deslizar para baixo.
Passo 5
Como a placa está próxima do equilíbrio, a força de atrito resultante precisa equilibrar o componente do peso da placa que atua paralelamente ao telhado. Ou seja, a força de atrito para cima deve igualar a força para baixo causada pelo peso.
Passo 6
Quando
, a expansão do telhado é maior que a da placa. Isso faz com que, durante o aquecimento, o telhado se expanda mais do que a placa, resultando em um movimento relativo onde a placa tende a deslizar para baixo em relação ao telhado.
Passo 7
A força de atrito cinético
atua na direção oposta ao movimento relativo. Nesse caso, se a placa tenta deslizar para baixo, o atrito atua para cima, tentando impedir esse deslizamento.
Passo 8
Para que a placa não deslize, a força de atrito máxima deve ser igual ou maior que a componente do peso que atua ao longo do telhado. A condição de equilíbrio fica:
Onde
é a força normal,
é a massa da placa,
é a aceleração da gravidade e
é o ângulo do telhado.
Passo 9
Se
, a placa tende a deslizar para baixo devido à maior expansão do telhado. O atrito atua para cima, mas se a força de atrito não for suficiente para equilibrar a força do peso, a placa deslizará para baixo.
Passo 10
Voltando à pergunta: “E se o coeficiente de expansão da placa for menor que o do telhado? A placa vai subir o telhado lentamente?”
Na verdade, se
, a placa não tende a subir, mas sim a deslizar para baixo devido à maior expansão do telhado. Portanto, a placa não vai subir o telhado lentamente; ao contrário, ela pode deslizar para baixo se o atrito não for suficiente para impedir esse movimento.
Resposta
Se o coeficiente de expansão da placa for menor que o do telhado (
), a placa tenderá a deslizar para baixo no telhado quando a temperatura aumenta, em vez de subir. Portanto, a placa não sobe o telhado lentamente; ela pode deslizar para baixo se a força de atrito não for suficiente para equilibrar a força causada pela maior expansão do telhado.