Fixada uma base ortonormal ( \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} ) e tomado \vec{v} \neq 0, chamam-se cossenos diretores de \vec{v} relativamente à base fixada os números \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma, onde \alpha, \beta, \gamma, são as medidas dos ângulos que \vec{v} forma respectivamente com \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}.
(a) Sendo \vec{v}=(x, y, z), prove que
\cos \alpha=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}, \quad, \cos \beta=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}, \quad, \cos \gamma=\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}
(b) Prove que \cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma=1.
(c) Prove que os cossenos diretores de \vec{v} são as coordenadas do versor de v, isto é, de \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.
(d) Sendo \theta a medida do ângulo entre \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}}, de cossenos diretores \cos \alpha_{1}, \cos \beta_{1}, \cos \gamma_{1}, e \cos \alpha_{2}, \cos \beta_{2}, \cos \gamma_{2}, respectivamente. Mostre que
\cos \theta=\cos \alpha_{1} \cos \alpha_{2}+\cos \beta_{1} \cos \beta_{2}+\cos \gamma_{1} \cos \gamma_{2}
(e) Ache os cossenos diretores de \vec{v}=(1,-3, \sqrt{6}) e de -\vec{v}.
(f) Sendo E=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) e F=\left(\overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}\right) bases ortonormais. Mostre que a j-ésima coluna da matriz de mudança de E para F é formada pelos cossenos diretores de \overrightarrow{f_{j}} em relação a E.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Dado uma base ortonormal fixada \(\vec{i},\vec{j},\vec{k}) e um vetor \vec{v}\neq0.
  • Definição: os “cossenos diretores” de \vec{v} relativamente à base são \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma, onde \alpha,\beta,\gamma são os ângulos de \vec{v} com \vec{i},\vec{j},\vec{k} respectivamente.
  • Informação adicional: \vec{v}=(x,y,z).
O que o enunciado pede, item por item:
(a) Mostrar que \displaystyle \cos\alpha=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad \cos\beta=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad \cos\gamma=\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
(b) Mostrar que \displaystyle \cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1.
(c) Mostrar que os cossenos diretores são as coordenadas do versor \dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.
(d) Sejam \overrightarrow{v_{1}},\overrightarrow{v_{2}} vetores com cossenos diretores \cos\alpha_{1},\cos\beta_{1},\cos\gamma_{1} e \cos\alpha_{2},\cos\beta_{2},\cos\gamma_{2}. Mostrar que, com \theta o ângulo entre eles,
\displaystyle \cos\theta=\cos\alpha_{1}\cos\alpha_{2}+\cos\beta_{1}\cos\beta_{2}+\cos\gamma_{1}\cos\gamma_{2}.
(e) Calcular os cossenos diretores de \vec{v}=(1,-3,\sqrt{6}) e de -\vec{v}.
(f) Dadas duas bases ortonormais E=(\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}) e F=(\overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}}), mostrar que a j-ésima coluna da matriz de mudança de E para F é formada pelos cossenos diretores de \overrightarrow{f_{j}} em relação a E.
A partir daqui começa a resolução propriamente dita.

Passo 2

Vou lembrar e explicar as ferramentas que vamos usar (bem devagar, passo a passo):
  • Produto interno (produto escalar) em \mathbb{R}^{3}. Para dois vetores \vec{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}) e \vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}) define-se
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.
Isto é uma soma de produtos de coordenadas. É uma definição padrão e muito útil porque relaciona comprimento e ângulo.
  • Norma de um vetor (comprimento) é
\|\vec{a}\|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}.
  • Relação entre produto escalar e ângulo: se \varphi é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}, então
\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\,\cos\varphi.
Isto é uma fórmula fundamental: ela diz que o produto escalar mede quanto um vetor “projeta” no outro.
  • Propriedade de base ortonormal: se \vec{i},\vec{j},\vec{k} é base ortonormal então
\vec{i}\cdot\vec{i}=\vec{j}\cdot\vec{j}=\vec{k}\cdot\vec{k}=1 \quad\text{e}\quad \vec{i}\cdot\vec{j}=\vec{i}\cdot\vec{k}=\vec{j}\cdot\vec{k}=0.
Ou seja, cada vetor da base tem norma 1 e são mutuamente ortogonais.
  • Consequência útil: se \vec{u} é um vetor unitário ( \|\vec{u}\|=1) e \varphi é o ângulo entre \vec{v} e \vec{u}, então
\cos\varphi=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\|\vec{v}\|}.
Isto vem isolando \cos\varphi da fórmula anterior.
Vou aplicar essas ideias ao caso com \vec{i},\vec{j},\vec{k} e \vec{v}=(x,y,z).

Passo 3

Queremos \cos\alpha onde \alpha é o ângulo entre \vec{v} e \vec{i}. Pela fórmula do passo anterior,
\cos\alpha=\frac{\vec{v}\cdot\vec{i}}{\|\vec{v}\|}.
Agora calcule o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{i}. Como \vec{v}=(x,y,z) e, na base canônica ortonormal, \vec{i}=(1,0,0), temos
\vec{v}\cdot\vec{i}=x\cdot 1 + y\cdot 0 + z\cdot 0 = x.
Também \|\vec{v}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Substituindo,
\cos\alpha=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
Exatamente o que era pedido para \cos\alpha.
Repetindo o mesmo raciocínio para \vec{j}=(0,1,0) e \vec{k}=(0,0,1):
\vec{v}\cdot\vec{j}=y,\qquad \vec{v}\cdot\vec{k}=z,
logo
\cos\beta=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\qquad \cos\gamma=\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
Assim (a) está provado, passo a passo.

Passo 4

Agora calcule a soma dos quadrados dos cossenos:
\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma = \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
Somando os numeradores:
\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=1.
Portanto
\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1,
como queríamos. Intuição: os cossenos diretores formam um vetor unitário (ver item (c)), então a soma dos quadrados das coordenadas desse vetor é 1.

Passo 5

O versor (vetor unitário na direção de \vec{v}) é
\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}(x,y,z) =\biggl(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\biggr).
Pelo item (a) essas três componentes são exatamente \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma. Portanto
\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma),
ou seja, os cossenos diretores são as coordenadas do versor de \vec{v}. Outra maneira de ver: a i-ésima coordenada do versor é \dfrac{\vec{v}\cdot\vec{e_{i}}}{\|\vec{v}\|}=\cos do ângulo , que coincide com a definição.

Passo 6

Sejam \overrightarrow{v_{1}}=(x_{1},y_{1},z_{1}) e \overrightarrow{v_{2}}=(x_{2},y_{2},z_{2}). Pelo relacionamento entre produto escalar e cosseno do ângulo \theta entre eles,
\cos\theta=\frac{\overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{v_{2}}}{\|\overrightarrow{v_{1}}\|\,\|\overrightarrow{v_{2}}\|}.
Calcule o produto escalar em coordenadas:
\overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{v_{2}}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}.
Mas pelos itens (a) e (c) podemos escrever, por exemplo,
x_{1}=\|\overrightarrow{v_{1}}\|\cos\alpha_{1},\qquad y_{1}=\|\overrightarrow{v_{1}}\|\cos\beta_{1},\qquad z_{1}=\|\overrightarrow{v_{1}}\|\cos\gamma_{1},
e de modo análogo para x_{2},y_{2},z_{2} com os cossenos \cos\alpha_{2},\cos\beta_{2},\cos\gamma_{2}. Substituindo em x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2} obtemos
\overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{v_{2}} =\|\overrightarrow{v_{1}}\|\,\|\overrightarrow{v_{2}}\| \bigl(\cos\alpha_{1}\cos\alpha_{2}+\cos\beta_{1}\cos\beta_{2}+\cos\gamma_{1}\cos\gamma_{2}\bigr).
Dividindo pelos comprimentos \|\overrightarrow{v_{1}}\|\,\|\overrightarrow{v_{2}}\| fica
\cos\theta=\cos\alpha_{1}\cos\alpha_{2}+\cos\beta_{1}\cos\beta_{2}+\cos\gamma_{1}\cos\gamma_{2},
que é exatamente a fórmula requisitada. Intuitivamente: as coordenadas normalizadas multiplicadas e somadas dão o cosseno do ângulo porque o produto escalar em coordenadas é essa soma de produtos.

Passo 7

Dado \vec{v}=(1,-3,\sqrt{6}). Primeiro calcule o comprimento:
\|\vec{v}\|=\sqrt{1^{2}+(-3)^{2}+(\sqrt{6})^{2}}=\sqrt{1+9+6}=\sqrt{16}=4.
Portanto, aplicando a fórmula do item (a):
\cos\alpha=\frac{1}{4},\qquad \cos\beta=\frac{-3}{4},\qquad \cos\gamma=\frac{\sqrt{6}}{4}.
Para -\vec{v}=(-1,3,-\sqrt{6}) basta observar que trocar \vec{v} por -\vec{v} muda o sinal de todos os cossenos diretores (o ângulo com cada eixo passa para o ângulo suplementar ou, em termos de cosseno, troca de sinal), ou calcular diretamente dividindo por \|-\vec{v}\|=\|\vec{v}\|=4:
\cos\alpha(-\vec{v})=\frac{-1}{4},\qquad \cos\beta(-\vec{v})=\frac{3}{4},\qquad \cos\gamma(-\vec{v})=\frac{-\sqrt{6}}{4}.

Passo 8

Sejam E=(\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}) e F=(\overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}}) bases ortonormais de \mathbb{R}^{3}. A matriz de mudança de base de E para F é a matriz P tal que, para cada j,
\overrightarrow{f_{j}}=P_{1j}\,\overrightarrow{e_{1}}+P_{2j}\,\overrightarrow{e_{2}}+P_{3j}\,\overrightarrow{e_{3}}.
Ou seja, a j-ésima coluna de P é o vetor coluna (P_{1j},P_{2j},P_{3j})^{T} formado pelas coordenadas de \overrightarrow{f_{j}} na base E.
Queremos mostrar que P_{ij}=\cos do ângulo entre \overrightarrow{f_{j}} e \overrightarrow{e_{i}}. Como E é ortonormal, projetando ambos os lados da expressão acima por produto escalar com \overrightarrow{e_{i}} obtemos
\overrightarrow{e_{i}}\cdot\overrightarrow{f_{j}} = P_{1j}\,\overrightarrow{e_{i}}\cdot\overrightarrow{e_{1}} + P_{2j}\,\overrightarrow{e_{i}}\cdot\overrightarrow{e_{2}} + P_{3j}\,\overrightarrow{e_{i}}\cdot\overrightarrow{e_{3}}.
Pela ortonormalidade \overrightarrow{e_{i}}\cdot\overrightarrow{e_{k}}=\delta_{ik} (1 se i=k e 0 caso contrário), o lado direito reduz-se a P_{ij}. Portanto
P_{ij}=\overrightarrow{e_{i}}\cdot\overrightarrow{f_{j}}.
Mas \overrightarrow{e_{i}}\cdot\overrightarrow{f_{j}}=\|\overrightarrow{e_{i}}\|\,\|\overrightarrow{f_{j}}\|\cos(\text{ângulo entre } \overrightarrow{e_{i}}\text{ e }\overrightarrow{f_{j}})â. Como ambas as bases são ortonormais, \|\overrightarrow{e_{i}}\|=\|\overrightarrow{f_{j}}\|=1, daí
P_{ij}=\cos(\text{ângulo entre } \overrightarrow{e_{i}}\text{ e }\overrightarrow{f_{j}}).â
Isso mostra que a j-ésima coluna de P é exatamente o vetor formado pelos cossenos diretores de \overrightarrow{f_{j}} em relação a E:
\text{coluna }j = \begin{pmatrix} \cos(\angle(\overrightarrow{f_{j}},\overrightarrow{e_{1}}))\\[4pt] \cos(\angle(\overrightarrow{f_{j}},\overrightarrow{e_{2}}))\\[4pt] \cos(\angle(\overrightarrow{f_{j}},\overrightarrow{e_{3}})) \end{pmatrix}.
Isto conclui a prova do item (f). Geometricamente: para bases ortonormais, as coordenadas de cada vetor da nova base na base antiga são justamente as projeções (cossenos diretores) sobre os vetores da antiga base.]

Resposta

(a) \displaystyle \cos\alpha=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad \displaystyle \cos\beta=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad \displaystyle \cos\gamma=\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
(b) \displaystyle \cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1.
(c) \displaystyle \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma).
(d) \displaystyle \cos\theta=\cos\alpha_{1}\cos\alpha_{2}+\cos\beta_{1}\cos\beta_{2}+\cos\gamma_{1}\cos\gamma_{2}.
(e) Para \vec{v}=(1,-3,\sqrt{6}): \displaystyle \cos\alpha=\frac{1}{4},\\ \cos\beta=-\frac{3}{4},\\ \cos\gamma=\frac{\sqrt{6}}{4}.
Para -\vec{v}: \displaystyle \cos\alpha=-\frac{1}{4},\\ \cos\beta=\frac{3}{4},\\ \cos\gamma=-\frac{\sqrt{6}}{4}.
(f) A j-ésima coluna da matriz de mudança de E para F é \displaystyle \begin{pmatrix}\overrightarrow{e_{1}}\cdot\overrightarrow{f_{j}}\\[4pt]\overrightarrow{e_{2}}\cdot\overrightarrow{f_{j}}\\[4pt]\overrightarrow{e_{3}}\cdot\overrightarrow{f_{j}}\end{pmatrix}, ou seja, os cossenos diretores de \overrightarrow{f_{j}} em relação a E.]