Fixada uma base ortonormal ( \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} ) e tomado \vec{v} \neq 0, chamam-se cossenos diretores de \vec{v} relativamente à base fixada os números \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma, onde \alpha, \beta, \gamma, são as medidas dos ângulos que \vec{v} forma respectivamente com \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}.
(a) Sendo \vec{v}=(x, y, z), prove que
(b) Prove que \cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma=1.
(c) Prove que os cossenos diretores de \vec{v} são as coordenadas do versor de v, isto é, de \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.
(d) Sendo \theta a medida do ângulo entre \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}}, de cossenos diretores \cos \alpha_{1}, \cos \beta_{1}, \cos \gamma_{1}, e \cos \alpha_{2}, \cos \beta_{2}, \cos \gamma_{2}, respectivamente. Mostre que
(e) Ache os cossenos diretores de \vec{v}=(1,-3, \sqrt{6}) e de -\vec{v}.
(f) Sendo E=\left(\overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) e F=\left(\overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}\right) bases ortonormais. Mostre que a j-ésima coluna da matriz de mudança de E para F é formada pelos cossenos diretores de \overrightarrow{f_{j}} em relação a E.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
Dado uma base ortonormal fixada \(\vec{i},\vec{j},\vec{k}) e um vetor \vec{v}\neq0.
Definição: os “cossenos diretores” de \vec{v} relativamente à base são \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma, onde \alpha,\beta,\gamma são os ângulos de \vec{v} com \vec{i},\vec{j},\vec{k} respectivamente.
Informação adicional: \vec{v}=(x,y,z).
O que o enunciado pede, item por item:
(a) Mostrar que \displaystyle \cos\alpha=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad
\cos\beta=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad
\cos\gamma=\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
(b) Mostrar que \displaystyle \cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1.
(c) Mostrar que os cossenos diretores são as coordenadas do versor \dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}.
(d) Sejam \overrightarrow{v_{1}},\overrightarrow{v_{2}} vetores com cossenos diretores \cos\alpha_{1},\cos\beta_{1},\cos\gamma_{1} e \cos\alpha_{2},\cos\beta_{2},\cos\gamma_{2}. Mostrar que, com \theta o ângulo entre eles, \displaystyle \cos\theta=\cos\alpha_{1}\cos\alpha_{2}+\cos\beta_{1}\cos\beta_{2}+\cos\gamma_{1}\cos\gamma_{2}.
(e) Calcular os cossenos diretores de \vec{v}=(1,-3,\sqrt{6}) e de -\vec{v}.
(f) Dadas duas bases ortonormais E=(\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}) e F=(\overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}}), mostrar que a j-ésima coluna da matriz de mudança de E para F é formada pelos cossenos diretores de \overrightarrow{f_{j}} em relação a E.
A partir daqui começa a resolução propriamente dita.
Passo 2
Vou lembrar e explicar as ferramentas que vamos usar (bem devagar, passo a passo):
Produto interno (produto escalar) em \mathbb{R}^{3}. Para dois vetores \vec{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}) e \vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3}) define-se
ou seja, os cossenos diretores são as coordenadas do versor de \vec{v}. Outra maneira de ver: a i-ésima coordenada do versor é \dfrac{\vec{v}\cdot\vec{e_{i}}}{\|\vec{v}\|}=\cos do ângulo , que coincide com a definição.
Passo 6
Sejam \overrightarrow{v_{1}}=(x_{1},y_{1},z_{1}) e \overrightarrow{v_{2}}=(x_{2},y_{2},z_{2}). Pelo relacionamento entre produto escalar e cosseno do ângulo \theta entre eles,
e de modo análogo para x_{2},y_{2},z_{2} com os cossenos \cos\alpha_{2},\cos\beta_{2},\cos\gamma_{2}. Substituindo em x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2} obtemos
que é exatamente a fórmula requisitada. Intuitivamente: as coordenadas normalizadas multiplicadas e somadas dão o cosseno do ângulo porque o produto escalar em coordenadas é essa soma de produtos.
Passo 7
Dado \vec{v}=(1,-3,\sqrt{6}). Primeiro calcule o comprimento:
Para -\vec{v}=(-1,3,-\sqrt{6}) basta observar que trocar \vec{v} por -\vec{v} muda o sinal de todos os cossenos diretores (o ângulo com cada eixo passa para o ângulo suplementar ou, em termos de cosseno, troca de sinal), ou calcular diretamente dividindo por \|-\vec{v}\|=\|\vec{v}\|=4:
Sejam E=(\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}},\overrightarrow{e_{3}}) e F=(\overrightarrow{f_{1}},\overrightarrow{f_{2}},\overrightarrow{f_{3}}) bases ortonormais de \mathbb{R}^{3}. A matriz de mudança de base de E para F é a matriz P tal que, para cada j,
Ou seja, a j-ésima coluna de P é o vetor coluna (P_{1j},P_{2j},P_{3j})^{T} formado pelas coordenadas de \overrightarrow{f_{j}} na base E.
Queremos mostrar que P_{ij}=\cos do ângulo entre \overrightarrow{f_{j}} e \overrightarrow{e_{i}}. Como E é ortonormal, projetando ambos os lados da expressão acima por produto escalar com \overrightarrow{e_{i}} obtemos
Pela ortonormalidade \overrightarrow{e_{i}}\cdot\overrightarrow{e_{k}}=\delta_{ik} (1 se i=k e 0 caso contrário), o lado direito reduz-se a P_{ij}. Portanto
Mas \overrightarrow{e_{i}}\cdot\overrightarrow{f_{j}}=\|\overrightarrow{e_{i}}\|\,\|\overrightarrow{f_{j}}\|\cos(\text{ângulo entre } \overrightarrow{e_{i}}\text{ e }\overrightarrow{f_{j}})â. Como ambas as bases são ortonormais, \|\overrightarrow{e_{i}}\|=\|\overrightarrow{f_{j}}\|=1, daí
P_{ij}=\cos(\text{ângulo entre } \overrightarrow{e_{i}}\text{ e }\overrightarrow{f_{j}}).â
Isso mostra que a j-ésima coluna de P é exatamente o vetor formado pelos cossenos diretores de \overrightarrow{f_{j}} em relação a E:
Isto conclui a prova do item (f). Geometricamente: para bases ortonormais, as coordenadas de cada vetor da nova base na base antiga são justamente as projeções (cossenos diretores) sobre os vetores da antiga base.]
(f) A j-ésima coluna da matriz de mudança de E para F é \displaystyle \begin{pmatrix}\overrightarrow{e_{1}}\cdot\overrightarrow{f_{j}}\\[4pt]\overrightarrow{e_{2}}\cdot\overrightarrow{f_{j}}\\[4pt]\overrightarrow{e_{3}}\cdot\overrightarrow{f_{j}}\end{pmatrix}, ou seja, os cossenos diretores de \overrightarrow{f_{j}} em relação a E.]