Fixados certos parâmetros de entrada, o tempo de execução de um algoritmo foi medido 12 vezes, obtendo-se os seguintes resultados, em minutos:
15 12 14 15 16 14 16 13 14 11 15 13
a) Apresente um intervalo de 95 \% de confiança para o tempo médio de execução do algoritmo.
b) Considerando as 12 mensurações como uma amostra piloto, avalie o número de mensurações (tamanho da amostra) necessário para garantir um erro máximo de 15 segundos ( 0,25 minutos). Use \gamma=0,95.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de n=12 medições (tempos em minutos):
15,\;12,\;14,\;15,\;16,\;14,\;16,\;13,\;14,\;11,\;15,\;13.
As perguntas são:
  • (a) construir um intervalo de 95\% de confiança para o tempo médio de execução (ou seja, para \mu);
  • (b) usando essas 12 mensurações como amostra piloto, determinar o tamanho de amostra necessário para garantir erro máximo E=0,25 minutos com confiança \gamma=0,95.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar{x}. Explico a fórmula e o raciocínio: a média amostral é a soma das observações dividida por n. Em símbolos,
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Somando os dados (peguei os valores do enunciado) obtemos \sum x_i = 168. Logo
\bar{x}=\frac{168}{12}=14,0\\ \text{(minutos)}.
Interpretação: a média observada das doze medições é \bar{x}=14,0 minutos.

Passo 3

Calcular a variância amostral e o desvio padrão amostral. Vou explicar as fórmulas com calma:
  • A variância amostral (com correção de Bessel) é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2.
  • O desvio padrão amostral é s=\sqrt{s^2}.
Calculei os desvios ao quadrado (cada x_i-\bar{x}) e somei; o total deu \sum (x_i-\bar{x})^2=26 (peguei os x_i da amostra). Assim
s^2=\frac{26}{11} \approx 2,3636, \qquad s=\sqrt{\frac{26}{11}}\approx 1,537.
Significado: s é a estimativa da dispersão (em minutos) das medições.

Passo 4

Preparar a fórmula do intervalo de confiança quando a variância é desconhecida e n é pequeno: usa-se a distribuição t de Student. A fórmula do intervalo de confiança de nível \gamma=95\% para a média é
\bar{x}\pm t_{n-1,\,1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde \alpha=1-\gamma (aqui \alpha=0,05), t_{n-1,\,1-\frac{\alpha}{2}} é o quantil superior da t com n-1 graus de liberdade, e \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (standard error). Aqui n-1=11.
Do livro/tabela da t, o quantil t_{11,\,0,975}\approx 2,201 (valor tabelado para 11 graus de liberdade e nível bilateral 95\%). O erro padrão é
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{1,537}{\sqrt{12}}\approx 0,444.

Passo 5

Calcular a margem de erro e o intervalo numérico. A margem de erro é
\text{ME}=t_{11,\,0,975}\cdot\text{SE}\approx 2,201\cdot 0,444\approx 0,977\\ \text{(min)}.
Portanto o intervalo de confiança de 95\% para \mu é
\bar{x}\pm \text{ME} \quad\Rightarrow\quad 14,0\pm 0,977,
ou seja
\bigl[\,14,0-0,977\;,\;14,0+0,977\,\bigr]=\bigl[\,13,023\;,\;14,977\,\bigr]\\ \text{(minutos)}.
Interpretação amigável: com 95\% de confiança, o tempo médio verdadeiro fica entre aproximadamente 13,02 e 14,98 minutos.

Passo 6

Agora a parte (b): determinar o tamanho de amostra n necessário para garantir erro máximo E=0,25 minutos com confiança \gamma=0,95. Vou explicar a ideia: queremos que a margem de erro do intervalo (aproximadamente z ou t vezes \dfrac{s}{\sqrt{n}}) seja \le E. A equação que relaciona n é
E = z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde z_{1-\frac{\alpha}{2}} é o quantil da Normal padrão. Para planejamento de amostra, é comum usar z em vez de t porque o valor de t depende de n (a solução exata exige iteração); o uso de z fornece um bom pré-estimador quando se tem um s piloto (e tende a superestimar ligeiramente o necessário, o que é conservador). Aqui usarei z_{0,975}=1,96. Se preferir a versão iterativa com t, dá para fazer depois, mas o procedimento padrão em amostras piloto é usar z.
Isolando n,
n = \left(\frac{z_{1-\frac{\alpha}{2}}\;s}{E}\right)^2.
Na nossa situação: z_{0,975}=1,96, s\approx 1,537 (estimado a partir da amostra piloto) e E=0,25.

Passo 7

Calcular numericamente:
n \approx \left(\frac{1,96\cdot 1,537}{0,25}\right)^2 = \left(\frac{3,0127}{0,25}\right)^2 \approx (12,0508)^2 \approx 145,22.
Como n deve ser inteiro e devemos garantir que o erro máximo não seja maior que E, arredondamos para cima:
n=146\\ \text{(mensurações)}.çõ
Comentário: isso significa que, usando a estimativa de s obtida nas 12 medidas-piloto e a aproximação normal, são necessárias 146 medições para que o intervalo de 95\% tenha meia-amplitude (erro máximo) de no máximo 0,25 minutos.

Passo 8

Observações práticas e incentivo: se desejar um cálculo mais exato que use a constante t em vez de z, pode-se iterar: começar com n_0=146, calcular t_{n_0-1,0,975}, recalcular n e repetir até convergir; isso costuma aumentar o n só ligeiramente. Mas n=146 é um valor prático, conservador e suficiente na maioria dos casos. Força aí — com essa amostra você deixa o erro bem controlado!

Resposta

[13,023,\;14,977]\\ \text{minutos}
n=146