Fixados certos parâmetros de entrada, o tempo de execução de um algoritmo foi medido 12 vezes, obtendo-se os seguintes resultados, em minutos:
15
12
14
15
16
14
16
13
14
11
15
13
a) Apresente um intervalo de
de confiança para o tempo médio de execução do algoritmo.
b) Considerando as 12 mensurações como uma amostra piloto, avalie o número de mensurações (tamanho da amostra) necessário para garantir um erro máximo de 15 segundos ( 0,25 minutos). Use
.
| 15 | 12 | 14 | 15 | 16 | 14 | 16 | 13 | 14 | 11 | 15 | 13 |
b) Considerando as 12 mensurações como uma amostra piloto, avalie o número de mensurações (tamanho da amostra) necessário para garantir um erro máximo de 15 segundos ( 0,25 minutos). Use
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de
medições (tempos em minutos):
As perguntas são:
- (a) construir um intervalo de
de confiança para o tempo médio de execução (ou seja, para ); - (b) usando essas 12 mensurações como amostra piloto, determinar o tamanho de amostra necessário para garantir erro máximo
minutos com confiança .
Passo 2
Calcular a média amostral
. Explico a fórmula e o raciocínio: a média amostral é a soma das observações dividida por
. Em símbolos,
Somando os dados (peguei os valores do enunciado) obtemos
. Logo
Interpretação: a média observada das doze medições é
minutos.
Passo 3
Calcular a variância amostral e o desvio padrão amostral. Vou explicar as fórmulas com calma:
- A variância amostral (com correção de Bessel) é
- O desvio padrão amostral é
.
Calculei os desvios ao quadrado (cada
) e somei; o total deu
(peguei os
da amostra). Assim
Significado:
é a estimativa da dispersão (em minutos) das medições.
Passo 4
Preparar a fórmula do intervalo de confiança quando a variância é desconhecida e
é pequeno: usa-se a distribuição t de Student. A fórmula do intervalo de confiança de nível
para a média é
onde
(aqui
),
é o quantil superior da
com
graus de liberdade, e
é o erro padrão da média (standard error). Aqui
.
Do livro/tabela da
, o quantil
(valor tabelado para
graus de liberdade e nível bilateral
). O erro padrão é
Passo 5
Calcular a margem de erro e o intervalo numérico. A margem de erro é
Portanto o intervalo de confiança de
para
é
ou seja
Interpretação amigável: com
de confiança, o tempo médio verdadeiro fica entre aproximadamente
e
minutos.
Passo 6
Agora a parte (b): determinar o tamanho de amostra
necessário para garantir erro máximo
minutos com confiança
. Vou explicar a ideia: queremos que a margem de erro do intervalo (aproximadamente
ou
vezes
) seja
. A equação que relaciona
é
onde
é o quantil da Normal padrão. Para planejamento de amostra, é comum usar
em vez de
porque o valor de
depende de
(a solução exata exige iteração); o uso de
fornece um bom pré-estimador quando se tem um
piloto (e tende a superestimar ligeiramente o necessário, o que é conservador). Aqui usarei
. Se preferir a versão iterativa com
, dá para fazer depois, mas o procedimento padrão em amostras piloto é usar
.
Isolando
,
Na nossa situação:
,
(estimado a partir da amostra piloto) e
.
Passo 7
Calcular numericamente:
Como
deve ser inteiro e devemos garantir que o erro máximo não seja maior que
, arredondamos para cima:
Comentário: isso significa que, usando a estimativa de
obtida nas 12 medidas-piloto e a aproximação normal, são necessárias
medições para que o intervalo de
tenha meia-amplitude (erro máximo) de no máximo
minutos.
Passo 8
Observações práticas e incentivo: se desejar um cálculo mais exato que use a constante
em vez de
, pode-se iterar: começar com
, calcular
, recalcular
e repetir até convergir; isso costuma aumentar o
só ligeiramente. Mas
é um valor prático, conservador e suficiente na maioria dos casos. Força aí — com essa amostra você deixa o erro bem controlado!