Para fluidos Newtonianos, qual é a relação entre a tensão e a taxa de deformação? Como se comporta essa relação com a variação da taxa de deformação?

Passo 1

Você perguntou duas coisas: (1) qual é a relação entre a tensão e a taxa de deformação para fluidos newtonianos; (2) como essa relação se comporta quando a taxa de deformação varia. As informações que vamos usar são conceitos básicos de tensões em escoamentos: tensão de cisalhamento (ou shear stress), taxa de deformação (ou taxa de cisalhamento) e viscosidade. Não há outros dados numéricos no enunciado.

Passo 2

Definições essenciais (vou explicar cada termo de forma bem clara):
  • A tensão de cisalhamento, que vou chamar de \tau, é a força tangencial por unidade de área que uma camada do fluido exerce sobre outra, e tem unidade de pascal ( \mathrm{Pa}).
  • A taxa de deformação em cisalhamento (shear rate), que vou chamar de \dot\gamma, mede a rapidez com que as camadas do fluido deslizam umas sobre as outras; sua unidade é \mathrm{s^{-1}}. Em escoamento simples ela é a derivada da velocidade na direção paralela ao deslizamento em relação à coordenada perpendicular: por exemplo \dot\gamma = \dfrac{\partial u}{\partial y} quando u é a velocidade horizontal e y a coordenada vertical.
  • A viscosidade dinâmica, \mu, é a propriedade do fluido que relaciona \tau e \dot\gamma. Sua unidade é \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 3

A lei constitutiva de um fluido newtoniano em escoamento simples é uma proporcionalidade linear entre tensão e taxa de deformação. Em forma escalar (cisalhamento simples):
\tau = \mu\,\dot\gamma.
Aqui:
  • \tau é a tensão de cisalhamento ( \mathrm{Pa});
  • \mu é a viscosidade dinâmica ( \mathrm{Pa\cdot s});
  • \dot\gamma é a taxa de cisalhamento ( \mathrm{s^{-1}}).
Explicando a fórmula: a tensão é igual à viscosidade multiplicada pela taxa de deformação. As unidades conferem: \mathrm{Pa\cdot s}\times\mathrm{s^{-1}}=\mathrm{Pa}.

Passo 4

Para dar um pouco mais de generalidade (sem complicar demais): a forma tensorial linear para um fluido newtoniano incompressível é
\boldsymbol{\sigma} = -p\,\mathbf{I} + 2\mu\,\mathbf{D},
onde:
  • \boldsymbol{\sigma} é o tensor de tensões de Cauchy (contém tensões normais e de cisalhamento);
  • p é a pressão hidrostática (escalar);
  • \mathbf{I} é a matriz identidade;
  • \mathbf{D} é o tensor de taxa de deformação simétrico definido por
\mathbf{D} = \tfrac{1}{2}\left(\nabla\mathbf{u} + (\nabla\mathbf{u})^{T}\right),
ou em componentes
D_{ij} = \tfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial u_i}{\partial x_j} + \dfrac{\partial u_j}{\partial x_i}\right).
Isso significa: além da pressão isotrópica, as contribuições viscosas às tensões são lineares nas derivadas de velocidade.

Passo 5

Exemplo concreto (Couette simples) para ver na prática como aplicar a lei:
  • Imagine duas placas paralelas separadas por distância h. A placa inferior está fixa e a superior move-se com velocidade U no sentido x. O escoamento entre placas (assumindo regime estacionário, sem gradiente de pressão) tem perfil linear de velocidade
u(y)=\dfrac{U}{h}\,y,
logo a taxa de cisalhamento é
\dot\gamma=\dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{U}{h}.
  • A tensão de cisalhamento é, pela lei newtoniana,
\tau=\mu\,\dot\gamma=\mu\,\dfrac{U}{h}.
Interpretação prática: se dobrar U (velocidade da placa), \tau dobra; se reduzir pela metade h (gap), \tau dobra.

Passo 6

Como a relação se comporta quando a taxa de deformação varia:
  • Porque a relação é linear, a tensão varia proporcionalmente à taxa de deformação: dobrar \dot\gamma dobra \tau; triplicar \dot\gamma triplica \tau, e assim por diante.
  • Para um fluido verdadeiramente newtoniano, a viscosidade \mu é constante com relação à \dot\gamma: \mu não depende da taxa de cisalhamento. Logo o gráfico \tau versus \dot\gamma é uma reta que passa pela origem com inclinação \mu.
  • Observação prática útil: a viscosidade pode depender de temperatura e pressão (por exemplo, água fica menos viscosa com o aumento da temperatura), mas isso é outra dependência — não é dependência da taxa de deformação. Quando se fala “newtoniano” refere‑se à independência de \mu em relação a \dot\gamma.

Passo 7

Contraexemplo para ficar esperto (e encorajar):
  • Muitos fluidos reais são não‑newtonianos: em fluidos pseudoplásticos (shear‑thinning, ex.: tintas, sangue) a viscosidade efetiva decresce com \dot\gamma; em dilatantes (shear‑thickening, ex.: suspensões concentradas) a viscosidade aumenta com \dot\gamma. Nesses casos \tau não é simplesmente \mu\dot\gamma com \mu constante.
  • Para provas: se o enunciado disser “fluido newtoniano”, use sempre \tau=\mu\dot\gamma (ou a forma tensorial). Se disser “não‑newtoniano” ou der uma lei experimental, aí use a lei dada.

Passo 8

Exemplo numérico rápido (pra você sentir a escala): água a 20^\circ\mathrm{C} tem aproximadamente \mu\approx 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}. Para \dot\gamma = 100\\ \mathrm{s^{-1}},
\tau = \mu\,\dot\gamma = 1{,}0\times10^{-3}\times100 = 0{,}1\\ \mathrm{Pa}.
Ou seja, taxas de cisalhamento comuns geram tensões modestíssimas em fluidos de baixa viscosidade.

Passo 9

Resumo didático e motivador: na prova, ao ver “fluido newtoniano”, escreva a lei linear direta e, se for escoamento simples, aplique \tau=\mu\,\dot\gamma. Se precisar de forma geral, escreva \boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I}+2\mu\mathbf{D}. Pronto — a parte conceitual está garantida; agora é só treinar exercícios de Couette, Poiseuille e outros para fixar.

Resposta

A tensão de cisalhamento é proporcional à taxa de deformação: \tau=\mu\,\dot\gamma. Para o tensor de tensões em um fluido newtoniano incompressível: \boldsymbol{\sigma}=-p\,\mathbf{I}+2\mu\,\mathbf{D}.
Ao variar a taxa de deformação, a tensão varia linearmente (proporcionalmente); a viscosidade \mu é constante (não depende de \dot\gamma) para um fluido newtoniano.

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