Para fluidos Newtonianos, qual é a relação entre a tensão e a taxa de deformação? Como se comporta essa relação com a variação da taxa de deformação?
Passo 1
Você perguntou duas coisas: (1) qual é a relação entre a tensão e a taxa de deformação para fluidos newtonianos; (2) como essa relação se comporta quando a taxa de deformação varia. As informações que vamos usar são conceitos básicos de tensões em escoamentos: tensão de cisalhamento (ou shear stress), taxa de deformação (ou taxa de cisalhamento) e viscosidade. Não há outros dados numéricos no enunciado.
Passo 2
Definições essenciais (vou explicar cada termo de forma bem clara):
- A tensão de cisalhamento, que vou chamar de
, é a força tangencial por unidade de área que uma camada do fluido exerce sobre outra, e tem unidade de pascal ( ). - A taxa de deformação em cisalhamento (shear rate), que vou chamar de
, mede a rapidez com que as camadas do fluido deslizam umas sobre as outras; sua unidade é . Em escoamento simples ela é a derivada da velocidade na direção paralela ao deslizamento em relação à coordenada perpendicular: por exemplo quando é a velocidade horizontal e a coordenada vertical. - A viscosidade dinâmica,
, é a propriedade do fluido que relaciona e . Sua unidade é .
Passo 3
A lei constitutiva de um fluido newtoniano em escoamento simples é uma proporcionalidade linear entre tensão e taxa de deformação. Em forma escalar (cisalhamento simples):
Aqui:
-
é a tensão de cisalhamento ( ); -
é a viscosidade dinâmica ( ); -
é a taxa de cisalhamento ( ).
Explicando a fórmula: a tensão é igual à viscosidade multiplicada pela taxa de deformação. As unidades conferem:
.
Passo 4
Para dar um pouco mais de generalidade (sem complicar demais): a forma tensorial linear para um fluido newtoniano incompressível é
onde:
-
é o tensor de tensões de Cauchy (contém tensões normais e de cisalhamento); -
é a pressão hidrostática (escalar); -
é a matriz identidade; -
é o tensor de taxa de deformação simétrico definido por
ou em componentes
Isso significa: além da pressão isotrópica, as contribuições viscosas às tensões são lineares nas derivadas de velocidade.
Passo 5
Exemplo concreto (Couette simples) para ver na prática como aplicar a lei:
- Imagine duas placas paralelas separadas por distância
. A placa inferior está fixa e a superior move-se com velocidade no sentido . O escoamento entre placas (assumindo regime estacionário, sem gradiente de pressão) tem perfil linear de velocidade
logo a taxa de cisalhamento é
- A tensão de cisalhamento é, pela lei newtoniana,
Interpretação prática: se dobrar
(velocidade da placa),
dobra; se reduzir pela metade
(gap),
dobra.
Passo 6
Como a relação se comporta quando a taxa de deformação varia:
- Porque a relação é linear, a tensão varia proporcionalmente à taxa de deformação: dobrar
dobra ; triplicar triplica , e assim por diante. - Para um fluido verdadeiramente newtoniano, a viscosidade
é constante com relação à : não depende da taxa de cisalhamento. Logo o gráfico versus é uma reta que passa pela origem com inclinação . - Observação prática útil: a viscosidade pode depender de temperatura e pressão (por exemplo, água fica menos viscosa com o aumento da temperatura), mas isso é outra dependência — não é dependência da taxa de deformação. Quando se fala “newtoniano” refere‑se à independência de
em relação a .
Passo 7
Contraexemplo para ficar esperto (e encorajar):
- Muitos fluidos reais são não‑newtonianos: em fluidos pseudoplásticos (shear‑thinning, ex.: tintas, sangue) a viscosidade efetiva decresce com
; em dilatantes (shear‑thickening, ex.: suspensões concentradas) a viscosidade aumenta com . Nesses casos não é simplesmente com constante. - Para provas: se o enunciado disser “fluido newtoniano”, use sempre
(ou a forma tensorial). Se disser “não‑newtoniano” ou der uma lei experimental, aí use a lei dada.
Passo 8
Exemplo numérico rápido (pra você sentir a escala): água a
tem aproximadamente
. Para
,
Ou seja, taxas de cisalhamento comuns geram tensões modestíssimas em fluidos de baixa viscosidade.
Passo 9
Resumo didático e motivador: na prova, ao ver “fluido newtoniano”, escreva a lei linear direta e, se for escoamento simples, aplique
. Se precisar de forma geral, escreva
. Pronto — a parte conceitual está garantida; agora é só treinar exercícios de Couette, Poiseuille e outros para fixar.
Resposta
A tensão de cisalhamento é proporcional à taxa de deformação:
. Para o tensor de tensões em um fluido newtoniano incompressível:
.
Ao variar a taxa de deformação, a tensão varia linearmente (proporcionalmente); a viscosidade é constante (não depende de
) para um fluido newtoniano.
Ao variar a taxa de deformação, a tensão varia linearmente (proporcionalmente); a viscosidade