Para a fluorita (
), a constante de Madelung (A) é igual a 2,519 e a distância internuclear entre os íons que a compõe é 238 pm . Qual a energia de rede estimada teoricamente para este composto segundo a equação de Born-Meyer?
Passo 1
O enunciado pede a energia de rede estimada teoricamente para a fluorita (
) usando a equação de Born–Mayer. Dados fornecidos:
- Constante de Madelung:
. - Distância internuclear (raio iônico efetivo entre
e ): . - Cargas dos íons:
(para ) e (para ), então .
Observação importante (que altera o cálculo): a forma prática da equação de Born–Mayer contém um parâmetro empírico
(comprimento característico da repulsão exponencial) que não foi fornecido no enunciado. Sem
não há um único valor numérico determinado pela equação de Born–Mayer. Para prosseguir, vou:
- Explicar a fórmula usada e cada termo.
- Assumir um valor razoável e comumente adotado para
em haletos (apenas para obter um valor numérico de referência), explicitando essa suposição e a sensibilidade do resultado a ela.
Passo 2
Apresentação da equação de Born–Mayer e explicação dos termos.
A equação de Born–Mayer usada aqui (forma prática resultante da soma da atração coulombiana e da repulsão exponencial, com minimização em
) é
Explicando cada símbolo:
-
: energia de rede por mol (energia total necessária para desmontar o cristal, geralmente negativa para um sólido estável; aqui daremos o valor com sinal). -
: constante de Avogadro, . -
: constante de Madelung (dada: ). -
e : cargas adimensionais dos cátions e ânions; usa-se o produto absoluto . -
: carga elementar, . -
: permitividade do vácuo, . -
: distância internuclear em metros (converto de picometros). -
: parâmetro empírico da repulsão exponencial (unidade de comprimento). É fornecido experimentalmente ou por ajuste; não foi dado no enunciado.
Breve intuição física: o termo prefatorial (sem o parêntese) é a energia coulombiana por mol entre todas as cargas do retículo (atrativa), e o fator
corrige essa energia pela repulsão de curto alcance modelada por uma função exponencial (Born–Mayer). Valores típicos de
para haletos estão na faixa aproximada
a
. Vou escolher um valor dentro dessa faixa e mostrar sensibilidade.
Passo 3
Conversões e constantes numéricas (vou mostrar cada passo numérico para você poder repetir sem calculadora razoavelmente):
Dados e conversões:
Cálculo do fator coulombiano por par íon (antes de multiplicar por
e pelo fator de correção):
Primeiro
:
Multiplicando por
:
Multiplicando por
e por
:
Dividindo por
para obter a energia por par íon (J):
Convertendo para por mol (multiplicando por
):
Esse valor
é a contribuição coulombiana sem corrigir pela repulsão. A energia de rede final pela equação de Born–Mayer é esse valor vezes o fator
.
Passo 4
Escolha e justificativa do valor de
, e aplicação do fator de correção.
Como
não foi fornecido, adoto um valor típico razoável para haletos:
Justificação curta: valores empíricos de para sais iônicos frequentemente caem entre
e
;
é um valor representativo usado em cálculos aproximados.
Justificação curta: valores empíricos de
Calcule a razão
:
Fator de correção:
Aplicando esse fator ao valor coulombiano por mol calculado:
Arredondando de forma razoável (duas casas significativas após milhar):
Observação sobre sensibilidade: se
fosse
o resultado seria um pouco menos negativo (maior magnitude), se
fosse
o resultado seria menos negativo. Assim, a incerteza em
introduce variações de algumas centenas de kJ·mol^{-1}. Portanto este resultado é uma estimativa teórica aproximada, com base na suposição de
.
Passo 5
Resumo da interpretação e como fazer isso na prova (dicas rápidas):
- Sempre converta
para metros antes de usar constantes SI. - Calcule primeiro o termo coulombiano por par íon:
e só depois multiplique por para obter por mol — assim evita-se trabalhar com números muito grandes desde o início. - Lembre-se de que Born–Mayer precisa de
(parâmetro empírico). Se o enunciado não der , ou pede estimativa, use um valor típico (20–40 pm) e declare a suposição. - Mostre as unidades em cada passo para ganhar pontos e evitar erros de conversão.