8 Um fluxo consiste em 142 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min} de ar úmido à temperatura de 5^{\circ} \mathrm{C} e uma razão de mistura de 0,002 \mathrm{~kg} (vapor)/kg(ar seco) é misturado adiabaticamente com um segundo fluxo que consiste em 425 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min} de ar úmido a 24^{\circ} \mathrm{C} e 50 \% de umidade relativa. A pressão mantém-se constante em 1 bar. Utilizando carta psicrométrica, determine (a) a razão de mistura e (b) a temperatura do fluxo misturado de saída, em { }^{\circ} \mathrm{C}. (R: 0,0074 \mathrm{~kg} / \mathrm{kg} de ar seco; 37,7 \mathrm{~kJ} / \mathrm{ks} de ar seco)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) a razão de mistura (umidade absoluta) do fluxo misturado, isto é, a razão de massa de vapor por kg de ar seco no escoamento saída, em \mathrm{kg} vapor / \mathrm{kg} ar seco;
  2. (b) a temperatura do fluxo misturado de saída, em {}^\circ\mathrm{C}.
Dados fornecidos (vou listar tudo, com unidades, para ficar claro):
  • Primeiro fluxo: vazão volumétrica \,142\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}, temperatura \,5^\circ\mathrm{C}, razão de mistura \,w_1=0{,}002\\ \mathrm{kg\\ vapor}/\mathrm{kg\\ ar\\ seco}.
  • Segundo fluxo: vazão volumétrica \,425\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}, temperatura \,24^\circ\mathrm{C}, umidade relativa \,\phi_2=50\%.
  • Pressão total constante: p=1\\ \mathrm{bar}=100\\ \mathrm{kPa}.
  • Mistura adiabática (sem troca de calor com o ambiente) — portanto energia (entalpia) se conserva no processo de mistura.
  • Você pediu uso de carta psicrométrica, mas eu vou usar as relações psicrométricas bem conhecidas (pressão de saturação, relação w, entalpia) e calcular numericamente — o procedimento é exatamente o mesmo que ler o gráfico, só que aqui fazemos as contas passo a passo.
Vou precisar também destas constantes usuais (valores padrão usados em psicrometria):
R_a=0{,}28704\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\qquad R_v=0{,}46152\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
c_{pa}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\qquad c_{pv}=1{,}86\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},
L_{v0}=2501\\ \mathrm{kJ/kg}\\ (\text{entalpia de vaporização aproximada a }0^\circ\mathrm{C}).çã
Observação: toda a matemática que vou usar está explicitada nos passos seguintes; não pule nada — prometo explicar cada fórmula.

Passo 2

Primeiro preciso da razão de mistura do segundo fluxo ( w_2), obtida a partir da umidade relativa e da pressão de vapor de saturação a 24^\circ\mathrm{C}.
Fórmula para pressão de saturação aproximada (fórmula de Tetens; boa para T ambiente):
p_{ws}(T)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right)\quad\text{(kPa), com \(T\) em \(^\circ\mathrm{C}\).}
Para T_2=24^\circ\mathrm{C}:
p_{ws}(24)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot 24}{24+237{,}3}\right)\approx 2{,}987\\ \mathrm{kPa}.
Como \phi_2=50\%=0{,}5, a pressão parcial do vapor é
p_{v2}=\phi_2\;p_{ws}(24)=0{,}5\cdot 2{,}987\approx 1{,}493\\ \mathrm{kPa}.
A razão de mistura (massa vapor por kg de ar seco) relaciona-se com a pressão parcial do vapor por
w=\frac{0{,}622\,p_v}{p-p_v}.
Aplicando para o fluxo 2:
w_2=\frac{0{,}622\cdot 1{,}493}{100-1{,}493}\approx 0{,}009434\\ \mathrm{kg/kg\\ ar\\ seco}.
(O fluxo 1 já tinha w_1=0{,}002 dado.)

Passo 3

Agora preciso das vazões mássicas de ar seco de cada corrente (pois na mistura conserva-se a massa de ar seco e a massa de vapor separadamente). Para isso usamos o volume específico do ar úmido por kg de ar seco (ou seja, quantos \mathrm{m}^3 ocupa 1 kg de ar seco nessa mistura úmida).
Equação do gás ideal para a mistura (por 1 kg de ar seco, massa de vapor é w):
p\,v = R_a\,T + w\,R_v\,T \quad\Rightarrow\quad v=\frac{T\,(R_a+wR_v)}{p},
onde v é o volume específico por kg de ar seco (em \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}), T em kelvin e p em kPa (usando R em kJ/kgK que é kPa·m^3/kgK).
Faço as contas para cada fluxo.
Para o fluxo 1: T_1=5^\circ\mathrm{C}=278{,}15\\ \mathrm{K} e w_1=0{,}002:
v_1=\frac{278{,}15\,(0{,}28704+0{,}002\cdot 0{,}46152)}{100}\approx 0{,}80097\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg}.
A vazão mássica de ar seco do fluxo 1 é
\dot m_{a1}=\frac{142\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}}{v_1}\approx\frac{142}{0{,}80097}\approx 177{,}32\\ \mathrm{kg/min}.
Para o fluxo 2: T_2=24^\circ\mathrm{C}=297{,}15\\ \mathrm{K} e w_2\approx 0{,}009434:
v_2=\frac{297{,}15\,(0{,}28704+0{,}009434\cdot 0{,}46152)}{100}\approx 0{,}86606\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{kg},
\dot m_{a2}=\frac{425\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}}{v_2}\approx\frac{425}{0{,}86606}\approx 490{,}98\\ \mathrm{kg/min}.
Massa total de ar seco no misto:
\dot m_{a,tot}=\dot m_{a1}+\dot m_{a2}\approx 177{,}32+490{,}98\approx 668{,}30\\ \mathrm{kg/min}.

Passo 4

Agora aplicamos conservação de massa de vapor (equivalente à conservação da razão de mistura ponderada pelas vazões de ar seco).
A massa de vapor transportada por cada corrente é \dot m_{a}\,w (kg de vapor por min). Então a razão de mistura do escoamento misto é:
w_{mix}=\frac{\dot m_{a1}\,w_1+\dot m_{a2}\,w_2}{\dot m_{a1}+\dot m_{a2}}.
Substituindo os números:
w_{mix}\approx\frac{177{,}32\cdot 0{,}002 + 490{,}98\cdot 0{,}009434}{668{,}30}\approx\frac{0{,}3546+4{,}6328}{668{,}30}\approx 0{,}007465.
Arredondando para 3 algarismos significativos, \;w_{mix}\approx 0{,}00746\\ \mathrm{kg/kg}, que coincide com o valor de referência 0{,}0074 informado.

Passo 5

Para obter a temperatura do misto, usamos conservação de energia (mistura adiabática): a entalpia total por kg de ar seco é conservada. A entalpia específica do ar úmido por kg de ar seco é dada pela fórmula comum em psicrometria (referência 0^\circ\mathrm{C}):
h = c_{pa}\,T_{^\circ\mathrm{C}} + w\,(L_{v0}+c_{pv}\,T_{^\circ\mathrm{C}}),
onde T_{^\circ\mathrm{C}} é a temperatura em graus Celsius nesta expressão (a convenção dessa fórmula dá h em \mathrm{kJ/kg\\ ar\\ seco}).
Calculo h_1 e h_2:
h_1=1{,}005\cdot 5 + 0{,}002\cdot(2501+1{,}86\cdot 5)\approx 10{,}0456\\ \mathrm{kJ/kg}.
h_2=1{,}005\cdot 24 + 0{,}009434\cdot(2501+1{,}86\cdot 24)\approx 48{,}136\\ \mathrm{kJ/kg}.
Energia total (por minuto) de cada corrente: \dot m_{a}\,h. Então a entalpia do misto por kg de ar seco é
h_{mix}=\frac{\dot m_{a1}\,h_1+\dot m_{a2}\,h_2}{\dot m_{a1}+\dot m_{a2}}.
Substituindo:
h_{mix}\approx\frac{177{,}32\cdot 10{,}0456 + 490{,}98\cdot 48{,}136}{668{,}30}\approx 38{,}045\\ \mathrm{kJ/kg\\ ar\\ seco}.
(Observação: o enunciado-referência deu um valor parecido de 37{,}7\\ \mathrm{kJ/kg} — pequenas diferenças vêm de aproximações nas constantes e no cálculo de p_{ws}.)

Passo 6

Agora recuperamos a temperatura do escoamento misto a partir da relação de entalpia, usando o w_{mix} já encontrado:
h_{mix}=c_{pa}\,T_{mix}+w_{mix}\,(L_{v0}+c_{pv}\,T_{mix}).
Isolando T_{mix}:
T_{mix}=\frac{h_{mix}-w_{mix}\,L_{v0}}{c_{pa}+w_{mix}\,c_{pv}}.
Substituindo valores numéricos:
T_{mix}\approx\frac{38{,}045 - 0{,}007465\cdot 2501}{1{,}005 + 0{,}007465\cdot 1{,}86} \approx\frac{38{,}045 - 18{,}666}{1{,}01888}\approx\frac{19{,}379}{1{,}01888}\approx 19{,}02\\ ^\circ\mathrm{C}.
Interpretação: a mistura dá uma umidade w_{mix}\approx 0{,}00746\\ \mathrm{kg/kg} e uma temperatura de aproximadamente 19{,}0^\circ\mathrm{C}. Isso faz sentido fisicamente: o fluxo quente (24°C) é maior volumetricamente, então a temperatura final fica mais próxima de 24°C do que de 5°C — aqui dá ~19°C.

Resposta

(a) w_{mix}=0{,}00746\\ \mathrm{kg\\ vapor}/\mathrm{kg\\ ar\\ seco}
(b) T_{mix}\approx 19{,}0^\circ\mathrm{C}

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