Um fluxo térmico de 15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} é aplicado na face esquerda de uma parede plana. A parede possui uma espessura de \mathrm{L}=8 \mathrm{~mm} e uma condutividade térmica de \mathrm{k}=10 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}. Se as temperaturas superficiais forem medidas e encontradas como 40^{\circ} \mathrm{C} no lado esquerdo e 25^{\circ} \mathrm{C} no lado direito, condições de regime estacionário estão presentes? Explique.

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma conclusão clara:
  • Fluxo térmico aplicado na face esquerda: q''_{\text{aplic}}=15\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Espessura da parede: L=8\\ \mathrm{mm}=0,008\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica: k=10\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Temperaturas superficiais medidas: temperatura do lado esquerdo T_{\ell}=40^\circ\mathrm{C} e do lado direito T_{r}=25^\circ\mathrm{C}.
    Pergunta: As condições de regime estacionário estão presentes? Explique.

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Regime estacionário (estado estacionário): significa que as temperaturas em cada ponto do corpo não mudam com o tempo. Nessa situação, para uma parede plana unidimensional sem geração de calor, o fluxo de calor por condução é constante através da espessura e igual ao fluxo aplicado nas faces.
  • Lei de Fourier para condução unidimensional (forma diferencial): q'' = -k\,\frac{dT}{dx}.Aqui:
    • q'' é o fluxo de calor por unidade de área (em \mathrm{W/m^{2}}),
    • k é a condutividade térmica (em \mathrm{W/(m\cdot K)}),
    • \dfrac{dT}{dx} é o gradiente de temperatura na direção x.
  • Para uma parede plana, com k constante e perfil de temperatura linear (condição típica de condução estacionária sem outras resistências), a expressão integrável dá: q'' = k\,\frac{T_{\ell}-T_{r}}{L}.Nesta fórmula:
    • T_{\ell} e T_{r} são as temperaturas nas superfícies esquerda e direita,
    • L é a espessura da parede.
      Explicação da aplicação: se o sistema está em regime estacionário e a única resistência térmica for a parede (sem contato/conv. extras nem geração interna), o fluxo que entra pela face esquerda deve ser exatamente igual ao fluxo calculado por esa fórmula usando as temperaturas de superfície.

Passo 3

Calcular o fluxo que corresponderia às temperaturas medidas usando a fórmula da condução estacionária:
  • Diferença de temperatura medida: \Delta T = T_{\ell}-T_{r} = 40^\circ\mathrm{C}-25^\circ\mathrm{C}=15\\ \mathrm{K}.
  • Aplicando q''_{\text{calc}} = k\,\frac{\Delta T}{L}:
q''_{\text{calc}} = 10\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{m\cdot K}}\times\frac{15\\ \mathrm{K}}{0,008\\ \mathrm{m}}.
Faço as contas passo a passo:
10\times15 = 150, \qquad \frac{150}{0,008} = 150\times\frac{1}{0,008}=150\times125=18750.
Portanto q''_{\text{calc}} = 18750\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 4

Comparar o fluxo calculado a partir das temperaturas com o fluxo aplicado:
  • Fluxo calculado a partir das temperaturas medidas: q''_{\text{calc}}=18750\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Fluxo aplicado informado no enunciado: q''_{\text{aplic}}=15\\ \mathrm{W/m^{2}}.
    Observação numérica: q''_{\text{calc}} é muito maior que q''_{\text{aplic}} (razão \dfrac{18750}{15}=1250). Isso é uma discrepância enorme.

Passo 5

Outra forma de ver a incompatibilidade (mesma ideia, algebricamente invertida):
  • Se o fluxo aplicado realmente fosse 15\\ \mathrm{W/m^{2}} e a parede fosse a única resistência térmica, a diferença de temperatura esperada seria
\Delta T_{\text{esperada}} = \frac{q''_{\text{aplic}}\,L}{k}=\frac{15\times0,008}{10}=0,012\\ \mathrm{K}.
Ou seja, com q''=15\\ \mathrm{W/m^{2}} a queda de temperatura através de uma parede tão fina e com k=10 seria apenas 0,012^\circ\mathrm{C}, bem longe dos 15^\circ\mathrm{C} medidos.
Conclusão técnica dos cálculos: os dados medidos (diferença de 15^\circ\mathrm{C}) são incompatíveis com o fluxo aplicado de 15\\ \mathrm{W/m^{2}} sob o modelo simples de condução estacionária unidimensional.

Passo 6

Interpretação física e possíveis razões para a inconsistência (explicadas de forma acessível):
  • Se realmente só houvesse condução estacionária através da parede e nenhuma outra resistência térmica entre o ambiente e as superfícies, o fluxo teria que ser 18750\\ \mathrm{W/m^{2}} para sustentar \Delta T=15^\circ\mathrm{C}. Como o fluxo aplicado é apenas 15\\ \mathrm{W/m^{2}}, os resultados medidos não condizem com regime estacionário puro.
  • Possíveis explicações (não inventando dados, apenas listando causas plausíveis que você pode checar):
    1. Condição transiente: a parede pode estar aquecendo ou esfriando — ou seja, está acumulando energia — então as temperaturas de superfície variam no tempo e o fluxo aplicado e as temperaturas instantâneas não seguem a relação da condução estacionária.
    2. Há resistências térmicas adicionais não consideradas (por exemplo resistência de contato, camadas de isolamento, ou uma camada de ar estagnado) ou grandes resistências convectivas nas superfícies; essas resistências aumentariam a queda de temperatura por uma mesma taxa de fluxo. Nesse caso, usar apenas k e L da parede subestima a resistência total.
    3. Erro de medição: as temperaturas superficiais ou o fluxo aplicado podem ter sido medidos incorretamente.
    4. Geração interna de calor na parede (pouco provável aqui sem indicação), que mudaria o balanço e o perfil de temperatura.
  • Para diagnosticar na prática: verificar evolução temporal das temperaturas (para ver se é transiente), checar presença de camadas/contatos e coeficientes de convecção nas superfícies, e checar medições.

Resposta

Não. q''_{\text{calc}}=18750\\ \mathrm{W/m^{2}} (a partir de T_{\ell}=40^\circ\mathrm{C} e T_{r}=25^\circ\mathrm{C}) é muito maior que q''_{\text{aplic}}=15\\ \mathrm{W/m^{2}}; os valores são incompatíveis com regime estacionário de condução simples, indicando efeito transiente, resistências térmicas adicionais ou erro de medição.