Foi feito um inquerito a um grupo de compradores de 40 carros para determinar quantas reparações foram feitas durante o primeiro ano de utilização dos carros. Obtiveram-se os seguintes resultados:
1 4 1 2 2 3 3 2
1 2 3 2 3 1 0 1
2 7 4 3 5 1 2 4
2 1 3 1 0 1 2 1
1 3 1 0 4 2 3 5
a) Construa a tabela de distribuição de frequência \left(f_{i} f_{i} F_{i}\right).
b) Calcule as medidas de tendência central e de variabilidade.

Passo 1

O enunciado dá os resultados de um inquérito com 40 carros (lista de observações) e pede duas coisas:
  • (a) construir a tabela de distribuição de frequência com as colunas de valor, frequência absoluta f_i, frequência relativa e frequência acumulada F_i;
  • (b) calcular medidas de tendência central e de variabilidade.
Os dados (extraídos da tabela do enunciado) são, em ordem de leitura:
1,4,1,2,2,3,3,2,\;1,2,3,2,3,1,0,1,\;2,7,4,3,5,1,2,4,\;2,1,3,1,0,1,2,1,\;1,3,1,0,4,2,3,5.
O total de observações é \,N=40.

Passo 2

Vamos contar quantas vezes aparece cada número de reparações x_i (tally) e montar a tabela. Contagem (mostrando soma parcial para você acompanhar):
  • 0: aparecem 3 vezes.
  • 1: aparecem 12 vezes.
  • 2: aparecem 10 vezes.
  • 3: aparecem 8 vezes.
  • 4: aparecem 4 vezes.
  • 5: aparecem 2 vezes.
  • 6: aparecem 0 vezes.
  • 7: aparece 1 vez.
Verificação da soma: 3+12+10+8+4+2+0+1=40, ok.
Agora a frequência relativa é p_i=\dfrac{f_i}{N} e a frequência acumulada F_i é a soma das frequências até aquele valor. Calculamos p_i e F_i:
\begin{aligned} x_i=0:&\quad f_i=3,\quad p_i=\dfrac{3}{40}=0,075,\quad F_i=3,\\\ x_i=1:&\quad f_i=12,\quad p_i=\dfrac{12}{40}=0,30,\quad F_i=3+12=15,\\\ x_i=2:&\quad f_i=10,\quad p_i=\dfrac{10}{40}=0,25,\quad F_i=15+10=25,\\\ x_i=3:&\quad f_i=8,\quad p_i=\dfrac{8}{40}=0,20,\quad F_i=25+8=33,\\\ x_i=4:&\quad f_i=4,\quad p_i=\dfrac{4}{40}=0,10,\quad F_i=33+4=37,\\\ x_i=5:&\quad f_i=2,\quad p_i=\dfrac{2}{40}=0,05,\quad F_i=37+2=39,\\\ x_i=6:&\quad f_i=0,\quad p_i=\dfrac{0}{40}=0,00,\quad F_i=39+0=39,\\\ x_i=7:&\quad f_i=1,\quad p_i=\dfrac{1}{40}=0,025,\quad F_i=39+1=40. \end{aligned}

Passo 3

Cálculo da média (tendência central): a média amostral \bar{x} é a soma ponderada dos valores pelas suas frequências dividida por N,
\bar{x}=\frac{\sum x_i f_i}{N}.
Calculamos \sum x_i f_i somando x_i vezes f_i:
\sum x_i f_i = 0\cdot3 + 1\cdot12 + 2\cdot10 + 3\cdot8 + 4\cdot4 + 5\cdot2 + 6\cdot0 + 7\cdot1.
Fazendo as contas passo a passo:
0+12+20+24+16+10+0+7 = 89.
Portanto
\bar{x}=\frac{89}{40}=2,225.

Passo 4

Cálculo da mediana: para N=40 (número par) a mediana é a média entre a 20^\text{a} e a 21^\text{a} observações ordenadas. Usamos as frequências acumuladas F_i para localizar essas posições:
  • F_1=15<20\le F_2=25, logo a 20^\text{a} observação corresponde a x=2.
  • A 21^\text{a} também fica em x=2.
    Assim a mediana é
\text{mediana}=2.

Passo 5

Cálculo da moda: a moda é o valor com maior frequência absoluta f_i. Observando as f_i, o maior é f_1=12. Portanto
\text{moda}=1.

Passo 6

Preparação para variância: para calcular variâncias precisamos de \sum x_i^2 f_i. Calculamos x_i^2 f_i e somamos:
\begin{aligned} 0^2\cdot3&=0,\\\\ 1^2\cdot12&=12,\\\\ 2^2\cdot10&=4\cdot10=40,\\\\ 3^2\cdot8&=9\cdot8=72,\\\\ 4^2\cdot4&=16\cdot4=64,\\\\ 5^2\cdot2&=25\cdot2=50,\\\\ 6^2\cdot0&=0,\\\\ 7^2\cdot1&=49. \end{aligned}
Somando:
\sum x_i^2 f_i = 0+12+40+72+64+50+0+49 = 287.

Passo 7

Variância populacional (medida de variabilidade descritiva): a variância populacional é
\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum x_i^2 f_i - \bar{x}^{\,2}.
Substituindo os valores:
\frac{1}{N}\sum x_i^2 f_i = \frac{287}{40}=7,175,
\bar{x}^{\,2}=\left(\frac{89}{40}\right)^2=\frac{7921}{1600}=4,950625.
Logo
\sigma^2 = 7,175-4,950625=2,224375.
Desvio padrão populacional
\sigma=\sqrt{2,224375}\approx 1,491.

Passo 8

Variância amostral (estimador com denominador N-1) e desvio correspondente: muitas vezes em estatística aplicada usa-se a variância amostral
s^2=\frac{1}{N-1}\Big(\sum x_i^2 f_i - N\bar{x}^{\,2}\Big).
Calculamos o numerador:
\sum x_i^2 f_i - N\bar{x}^{\,2} = 287 - 40\cdot\frac{7921}{1600} = 287 - \frac{7921}{40}=287-198,025=88,975.
Dividindo por N-1=39:
s^2=\frac{88,975}{39}\approx 2,282692.
Desvio amostral
s=\sqrt{s^2}\approx 1,511.

Passo 9

Outras medidas simples:
  • Amplitude (range): \max-\min = 7-0=7.
Resumo dos resultados principais (já calculados nos passos anteriores) será apresentado na resposta final.

Resposta

(a) Tabela de distribuição:
\\ x_i=0:\\ f_i=3,\\ p_i=\dfrac{3}{40}=0,075,\\ F_i=3\n
\\ x_i=1:\\ f_i=12,\\ p_i=\dfrac{12}{40}=0,30,\\ F_i=15\n
\\ x_i=2:\\ f_i=10,\\ p_i=\dfrac{10}{40}=0,25,\\ F_i=25\n
\\ x_i=3:\\ f_i=8,\\ p_i=\dfrac{8}{40}=0,20,\\ F_i=33\n
\\ x_i=4:\\ f_i=4,\\ p_i=\dfrac{4}{40}=0,10,\\ F_i=37\n
\\ x_i=5:\\ f_i=2,\\ p_i=\dfrac{2}{40}=0,05,\\ F_i=39\n
\\ x_i=6:\\ f_i=0,\\ p_i=\dfrac{0}{40}=0,00,\\ F_i=39\n
\\ x_i=7:\\ f_i=1,\\ p_i=\dfrac{1}{40}=0,025,\\ F_i=40
(b) Medidas de tendência central e de variabilidade:
\bar{x}=\dfrac{89}{40}=2,225; mediana =2; moda =1; amplitude =7; variância populacional \sigma^2=2,224375, desvio padrão populacional \sigma\approx1,491; variância amostral s^2\approx2,282692, desvio amostral s\approx1,511.

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