1. Uma fonte de energia real apresenta invariavelmente uma força eletromotriz ( \mathcal{E} ) acoplada internamente a uma resistência intrínseca ( r ). Qual é o comportamento prático medido nos terminais (tensão útil V_{a b} ) dessa bateria quando conectada a uma carga, conforme a demanda de corrente pelo circuito externo aumenta até o limiar de curto-circuito?

Passo 1

O enunciado dá um gerador/bateria real modelado por uma força eletromotriz \mathcal{E} em série com uma resistência interna r. Pede para descrever o comportamento prático da tensão medida aos terminais V_{ab} quando a bateria é conectada a uma carga externa e a corrente exigida pelo circuito aumenta até o curto-circuito. Informações relevantes fornecidas:
  • Fonte idealizada: \mathcal{E} (força eletromotriz, em volts).
  • Resistência interna: r (em ohms), em série com \mathcal{E}.
  • Há uma carga externa (resistência R) que determina a corrente I que atravessa o circuito.
  • Situação extrema a considerar: curto-circuito ( R=0), ou corrente máxima pedida.

Passo 2

Modelo elétrico e lei de circuito (KVL). A bateria real é modelada por um gerador ideal \mathcal{E} em série com r. Quando passa uma corrente I pelo circuito, a soma algébrica das quedas de tensão numa malha é zero. Aplicando a Lei de Kirchhoff de tensão ao circuito:
\mathcal{E} - I r - V_{ab} = 0.
Rearranjando obtemos a expressão básica que relaciona tensão de terminais e corrente:
V_{ab} = \mathcal{E} - I r.
Explicação didática: \mathcal{E} é a “tensão sem carga” da bateria; I r é a queda de tensão dentro da própria bateria por causa da resistência interna. Portanto a tensão útil nos terminais é a diferença entre essas duas.

Passo 3

Relação entre corrente I e a carga externa R. Pelo circuito em série, a corrente é dada por:
I=\frac{\mathcal{E}}{R+r}.
Dois limites importantes e fáceis de entender:
  • Circuito aberto ( R\to\infty): \;I\to 0 e, pela fórmula do passo 2, V_{ab}\to \mathcal{E}. Isso é a tensão de circuito aberto (tensão nominal medida sem carga).
  • Curto-circuito ( R=0): \;I_{SC}=\dfrac{\mathcal{E}}{r} e substituindo obtém-se V_{ab}=0. Ou seja, na idealização, quando se fecha curto nos terminais a tensão medida é zero e a corrente atinge \mathcal{E}/r (na prática limitada por segurança e aquecimento).

Passo 4

Comportamento prático de V_{ab} quando a demanda de corrente aumenta. Use a expressão linear do passo 2:
V_{ab}=\mathcal{E}-I r.
Isto é uma reta em função de I com intercepto em I=0 igual a \mathcal{E} e coeficiente angular -r. Interpretação:
  • À medida que a carga exige mais corrente ( I aumenta), a queda I r aumenta e a tensão disponível V_{ab} diminui linearmente.
  • No limite de corrente muito alta (próximo do curto), V_{ab} tende a zero.
    Exemplo numérico intuitivo: se \mathcal{E}=12\\ \text{V} e r=1\\ \Omega, então I_{SC}=12\\ \text{A}. Se a carga pedir I=6\\ \text{A}, então V_{ab}=12-6\cdot1=6\\ \text{V}. Se a carga pedir I=12\\ \text{A} (curto), V_{ab}=0.

Passo 5

Potência entregue à carga e ponto de máxima potência (conceito útil na prática). A potência na carga é
P_L = I^2 R.
Substituindo I=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r} obtemos
P_L=\frac{\mathcal{E}^2 R}{(R+r)^2}.
Para encontrar o R que maximiza P_L, derivar em relação a R e igualar a zero leva ao resultado clássico de máxima transferência de potência quando
R=r.
Nesse ponto:
P_{max}=\frac{\mathcal{E}^2}{4r}, \qquad V_{ab}=\frac{\mathcal{E}}{2}, \qquad I=\frac{\mathcal{E}}{2r}.
Interpretação prática: a máxima potência útil para a carga ocorre quando a carga é igual à resistência interna — porém com baixa eficiência (metade da potência gerada é dissipada internamente).

Passo 6

Efeitos práticos adicionais e limites de validade do modelo. Coisas importantes para lembrar na prova e na prática:
  • A expressão V_{ab}=\mathcal{E}-I r é linear e muito útil, mas r pode variar com temperatura e estado de carga da bateria; em altas correntes r costuma aumentar por aquecimento.
  • A corrente de curto-circuito \dfrac{\mathcal{E}}{r} é um limite teórico que na prática causa aquecimento intenso, danos ou acionamento de proteção (fusível, disjuntor).
  • A potência dissipada internamente é P_{int}=I^2 r; quanto maior a corrente, maior a perda térmica e menor a eficiência.
  • Conclusão prática: ao aumentar a demanda de corrente a tensão útil decai de forma aproximadamente linear até ficar muito baixa perto do curto; isso reduz desempenho e pode danificar a fonte.

Passo 7

Resumo prático para levar à prova (fórmulas e frases curtas de memorização):
  • Tensão terminal: \;V_{ab}=\mathcal{E}-I r.
  • Corrente em função da carga: \;I=\dfrac{\mathcal{E}}{R+r}.
  • Curto-circuito: \;I_{SC}=\dfrac{\mathcal{E}}{r} e \;V_{ab}=0.
  • Gráfico V_{ab} versus I: reta com intercepto \mathcal{E} e declividade -r.
  • Máxima potência entregue quando R=r, com V_{ab}=\mathcal{E}/2.

Resposta

V_{ab}=\mathcal{E}-I r. À medida que a corrente exigida pelo circuito externo aumenta, a queda interna I r cresce e a tensão útil V_{ab} diminui linearmente, alcançando V_{ab}=0 no curto-circuito, quando I_{SC}=\dfrac{\mathcal{E}}{r}.

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