- Problema de geometria variável: Determine de forma analítica (utilizando o cálculo integral) a expressão algébrica que define a resistência elétrica equivalente de um resistor maciço forjado com o formato de um tronco de cone, possuindo bases de raios
e
, comprimento longo
e feito de um metal de resistividade homogênea
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar, de forma analítica usando cálculo integral, a expressão algébrica da resistência elétrica equivalente de um resistor maciço com formato de tronco de cone. Os dados fornecidos são:
- raio da base menor:
; - raio da base maior:
; - comprimento (altura axial) do tronco:
; - resistividade do material (homogênea):
.
A pergunta é: qual é a resistênciaentre as duas bases (isto é, quando a corrente entra por uma base e sai pela outra)?
Passo 2
Conceito físico e fórmula local: para um pedaço cilíndrico uniforme de comprimento
e área de seção transversal
a resistência é dada por
Explicação didática:
é a resistividade do material (unidade
);
é a área da seção transversal (unidade
); quanto maior
menor a resistência de um dado comprimento. Para um corpo com área que varia ao longo do comprimento, dividimos em fatias finas (cada fatia é aproximadamente cilíndrica) e somamos as resistências dessas fatias em série usando integração. Essa é a ideia-chave: aproximar o tronco por muitas lâminas finas, cada uma com resistência infinitesimal
, e integrar.
Passo 3
Expressão infinitesimal: considere uma coordenada axial
que vai de
numa base (raio
) até
na outra base (raio
). Para uma fatia de espessura
em torno de
, a resistência infinitesimal é
onde
é a área da seção transversal dessa fatia. Em português: dividir o corpo em lâminas finas, cada lâmina tem resistência dada por
vezes espessura sobre área; somando (integrando) obtemos a resistência total.
Passo 4
Expressar a área
: a superfície lateral do tronco é reta entre as bases, então o raio varia linearmente com
. Tomando
na base de raio
e
na base de raio
, temos a relação de interpolação linear
A área da seção em
é a área do círculo de raio
:
Explicação: é só aplicar a fórmula da área do círculo
usando o raio que varia linearmente ao longo do eixo.
Passo 5
Montar a integral de resistência total: integrar
de
a
:
Comentário: a integral soma as contribuições de todas as fatias. A integranda é
dividido por
vezes o quadrado do raio local.
Passo 6
Resolver a integral passo a passo. Para simplificar, defina
Então
ou
. Quando
tem-se
; quando
tem-se
. Substituindo na integral:
Agora integramos
: a primitiva é
. Assim
Portanto
Passo 7
Voltar à constante
e simplificar: lembrando
,
Explicação das manipulações: fez-se fator comum e cancelou
com o denominador
, sobrando
no numerador; o resultado final é uma forma muito simples.
Passo 8
Verificações rápidas e comentários intuitivos:
- Caso
(cilindro), a fórmula dá , que é exatamente a fórmula conhecida com — checagem consistente. - Se uma das bases tende a zero (
ou ), a resistência diverge porque a área de contato vai a zero — faz sentido físico: corrente tem que passar por uma seção cada vez menor. - A hipótese usada: corrente uniforme e fluxo axial, e a resistividade é homogênea; a aproximação por fatias finas é válida porque cada fatia é quase cilíndrica para
pequeno.