1. Problema de geometria variável: Determine de forma analítica (utilizando o cálculo integral) a expressão algébrica que define a resistência elétrica equivalente de um resistor maciço forjado com o formato de um tronco de cone, possuindo bases de raios a e b, comprimento longo L e feito de um metal de resistividade homogênea \rho.

Passo 1

O enunciado pede: determinar, de forma analítica usando cálculo integral, a expressão algébrica da resistência elétrica equivalente de um resistor maciço com formato de tronco de cone. Os dados fornecidos são:
  • raio da base menor: a;
  • raio da base maior: b;
  • comprimento (altura axial) do tronco: L;
  • resistividade do material (homogênea): \rho.
    A pergunta é: qual é a resistência R entre as duas bases (isto é, quando a corrente entra por uma base e sai pela outra)?

Passo 2

Conceito físico e fórmula local: para um pedaço cilíndrico uniforme de comprimento \Delta x e área de seção transversal A a resistência é dada por
R=\frac{\rho\,\Delta x}{A}.
Explicação didática: \rho é a resistividade do material (unidade \Omega\cdot\text{m}); A é a área da seção transversal (unidade \text{m}^2); quanto maior A menor a resistência de um dado comprimento. Para um corpo com área que varia ao longo do comprimento, dividimos em fatias finas (cada fatia é aproximadamente cilíndrica) e somamos as resistências dessas fatias em série usando integração. Essa é a ideia-chave: aproximar o tronco por muitas lâminas finas, cada uma com resistência infinitesimal \mathrm{d}R, e integrar.

Passo 3

Expressão infinitesimal: considere uma coordenada axial x que vai de x=0 numa base (raio a) até x=L na outra base (raio b). Para uma fatia de espessura \mathrm{d}x em torno de x, a resistência infinitesimal é
\mathrm{d}R=\frac{\rho\,\mathrm{d}x}{A(x)},
onde A(x) é a área da seção transversal dessa fatia. Em português: dividir o corpo em lâminas finas, cada lâmina tem resistência dada por \rho vezes espessura sobre área; somando (integrando) obtemos a resistência total.

Passo 4

Expressar a área A(x): a superfície lateral do tronco é reta entre as bases, então o raio varia linearmente com x. Tomando x=0 na base de raio a e x=L na base de raio b, temos a relação de interpolação linear
r(x)=a+\frac{(b-a)}{L}\,x.
A área da seção em x é a área do círculo de raio r(x):
A(x)=\pi\,[r(x)]^{2}=\pi\left(a+\frac{(b-a)}{L}\,x\right)^{2}.
Explicação: é só aplicar a fórmula da área do círculo A=\pi r^{2} usando o raio que varia linearmente ao longo do eixo.

Passo 5

Montar a integral de resistência total: integrar \mathrm{d}R de x=0 a x=L:
R=\int_{0}^{L}\frac{\rho\,\mathrm{d}x}{\pi\left(a+\dfrac{(b-a)}{L}\,x\right)^{2}}.
Comentário: a integral soma as contribuições de todas as fatias. A integranda é \rho dividido por \pi vezes o quadrado do raio local.

Passo 6

Resolver a integral passo a passo. Para simplificar, defina
k=\frac{b-a}{L}, \qquad u=a+kx.
Então \mathrm{d}u=k\,\mathrm{d}x ou \mathrm{d}x=\dfrac{\mathrm{d}u}{k}. Quando x=0 tem-se u=a; quando x=L tem-se u=b. Substituindo na integral:
R=\int_{u=a}^{u=b}\frac{\rho}{\pi}\cdot\frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{\mathrm{d}u}{k} =\frac{\rho}{\pi k}\int_{a}^{b}u^{-2}\,\mathrm{d}u.
Agora integramos u^{-2}: a primitiva é -u^{-1}. Assim
\int_{a}^{b}u^{-2}\,\mathrm{d}u=\left[-\frac{1}{u}\right]_{a}^{b}=-\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}.
Portanto
R=\frac{\rho}{\pi k}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right).

Passo 7

Voltar à constante k e simplificar: lembrando k=(b-a)/L,
R=\frac{\rho}{\pi}\cdot\frac{1}{k}\cdot\frac{b-a}{ab} =\frac{\rho}{\pi}\cdot\frac{b-a}{ab}\cdot\frac{L}{b-a} =\frac{\rho L}{\pi ab}.
Explicação das manipulações: fez-se fator comum e cancelou (b-a) com o denominador k=(b-a)/L, sobrando L no numerador; o resultado final é uma forma muito simples.

Passo 8

Verificações rápidas e comentários intuitivos:
  • Caso a=b=r (cilindro), a fórmula dá R=\dfrac{\rho L}{\pi r^{2}}, que é exatamente a fórmula conhecida R=\rho L/A com A=\pi r^{2} — checagem consistente.
  • Se uma das bases tende a zero ( a\to0 ou b\to0), a resistência diverge porque a área de contato vai a zero — faz sentido físico: corrente tem que passar por uma seção cada vez menor.
  • A hipótese usada: corrente uniforme e fluxo axial, e a resistividade é homogênea; a aproximação por fatias finas é válida porque cada fatia é quase cilíndrica para \mathrm{d}x pequeno.

Resposta

R=\frac{\rho\,L}{\pi\,a\,b}

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