1. Se A for uma matriz não inversível n \times n, então o sistema linear A X=0 tem uma infinidade de soluções.

Passo 1

O enunciado afirma que A é uma matriz quadrada n\times n não inversível (ou seja, \det(A)=0) e pergunta sobre as soluções do sistema homogêneo
A X = 0.
O conteúdo principal aqui é o Teorema do Posto (ou Teorema da Dimensão) aplicado ao espaço nulo de A.

Passo 2

Pelo Teorema do Posto e da Nulidade, para uma matriz A de ordem n vale
\mathrm{rank}(A) + \mathrm{nullity}(A) = n,
onde \mathrm{nullity}(A) é a dimensão do espaço das soluções de A X=0. Como A não é inversível, temos \mathrm{rank}(A)<n.

Passo 3

Se \mathrm{rank}(A)<n, então
\mathrm{nullity}(A) = n - \mathrm{rank}(A) \ge 1.
Isso significa que o espaço das soluções de A X=0 tem dimensão pelo menos 1, logo há infinitas soluções (além da trivial X=0, há um parâmetro livre).

Resposta

Verdadeiro.

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