- Se
for uma matriz não inversível
, então o sistema linear
tem uma infinidade de soluções.
Passo 1
O enunciado afirma que
é uma matriz quadrada
não inversível (ou seja,
) e pergunta sobre as soluções do sistema homogêneo
O conteúdo principal aqui é o Teorema do Posto (ou Teorema da Dimensão) aplicado ao espaço nulo de
.
Passo 2
Pelo Teorema do Posto e da Nulidade, para uma matriz
de ordem
vale
onde
é a dimensão do espaço das soluções de
. Como
não é inversível, temos
.
Passo 3
Se
, então
Isso significa que o espaço das soluções de
tem dimensão pelo menos
, logo há infinitas soluções (além da trivial
, há um parâmetro livre).
Resposta
Verdadeiro.