Uma força F=(3,00 N) i+(7,00 N) j age sobre um objeto de 2,00 kg que se move de uma posição inicial i=(3,00 m) i-(2,00 m) j+(5,00 m) k para uma posição final f=-(5,00 m) i+(4,00 m) j+(7,00 m) k em 4,00 s.
© Determine o ângulo entre os vetores i e f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de física envolvendo vetores e precisa descobrir o ângulo entre dois vetores de posição, chamados i e f. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra vetorial, especificamente a fórmula do produto escalar. Vamos precisar calcular o produto escalar dos vetores e suas magnitudes para encontrar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores de posição:
i = (3,00 , m) i - (2,00 , m) j + (5,00 , m) k
f = -(5,00 , m) i + (4,00 , m) j + (7,00 , m) k

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre i e f. O produto escalar é dado por:
i cdot f = ix cdot fx + iy cdot fy + iz cdot fz
Substituindo os valores:
i cdot f = (3,00)(-5,00) + (-2,00)(4,00) + (5,00)(7,00) = -15,00 - 8,00 + 35,00 = 12,00 , m^2

Passo 4

Agora, vamos calcular as magnitudes dos vetores i e f. A magnitude de um vetor v = (vx, vy, vz) é:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Para i:
|i| = raiz(3,00)^2 + (-2,00)^2 + (5,00)^2 = raiz9 + 4 + 25 = raiz38 approx 6,16 , m
Para f:
|f| = raiz(-5,00)^2 + (4,00)^2 + (7,00)^2 = raiz25 + 16 + 49 = raiz90 approx 9,49 , m

Passo 5

Agora que temos o produto escalar e as magnitudes, podemos usar a fórmula para encontrar o ângulo theta entre os vetores:
cos(theta) = i cdot f|i| , |f|
Substituindo os valores:
cos(theta) = 12,006,16 times 9,49 approx 12,0058,48 approx 0,205

Passo 6

Para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno (cos⁻¹):
theta = cos^-1(0,205) approx 78,1^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores i e f é aproximadamente 78,1^circ.

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