A força magnética obedece à terceira lei de Newton? Dê um exemplo.

Passo 1

O que o enunciado pergunta e o que temos:
  • Pergunta: “A força magnética obedece à terceira lei de Newton? Dê um exemplo.”
  • Informações dadas: nenhuma adicional — é uma pergunta conceitual + pede um exemplo concreto.

Passo 2

O que é a terceira lei de Newton (em linguagem clara):
  • A terceira lei diz que para todo par de forças entre dois corpos 1 e 2 vale
\vec{F}_{12} = -\,\vec{F}_{21},
ou seja, a força que o corpo 1 exerce sobre o 2 é exatamente igual em módulo e oposta em direção à força que 2 exerce em 1. Isso é o que chamamos de ação = reação (par a par, instantâneo).

Passo 3

Qual é a expressão da força magnética sobre uma carga (a fórmula que vamos usar):
  • A força total sobre uma carga q com velocidade \vec{v} num campo elétrico \vec{E} e magnético \vec{B} é a força de Lorentz:
\vec{F}=q\bigl(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\bigr).
  • Nesta questão interessa a parte magnética: \vec{F}_{\text{mag}}=q(\vec{v}\times\vec{B}).
  • Explicando as variáveis: q é a carga (em coulombs), \vec{v} é a velocidade da carga (m/s), \vec{B} é o campo magnético (tesla), \times é o produto vetorial (gera um vetor perpendicular aos dois).

Passo 4

Como calcular o campo magnético produzido por outra carga em movimento (modelo simples não-relativístico):
  • Uma carga q_2 que se move com velocidade \vec{v}_2 produz, num ponto localizado por \vec{r} em relação à carga, um campo magnético aproximado (fora de efeitos relativísticos complicados) dado por uma forma do tipo Biot–Savart para uma partícula pontual:
\vec{B}_2(\vec{r})=\frac{\mu_0}{4\pi}\,q_2\,\frac{\vec{v}_2\times\hat{r}}{r^2},
onde \vec{r}=\vec{r}_1-\vec{r}_2 é o vetor do gerador (carga 2) até o ponto onde se avalia (posição da carga 1), r=|\vec{r}|, \hat r=\vec r/r, e \mu_0/(4\pi)=10^{-7}\\ \text{SI}.
  • Observação: esta expressão é a aproximação magnética útil para baixas velocidades; serve para mostrar o comportamento da força magnética entre partículas em movimento.

Passo 5

Escrevendo a força magnética que a carga 2 faz sobre a carga 1 e vice-versa:
  • Força sobre 1 causada pelo campo magnético de 2:
\vec{F}_{12}=q_1\,\vec{v}_1\times\vec{B}_2(\vec{r}_1) =\frac{\mu_0}{4\pi}\,q_1 q_2\,\frac{\vec{v}_1\times\bigl(\vec{v}_2\times\hat r\bigr)}{r^2}.
  • Força sobre 2 causada pelo campo magnético de 1:
\vec{F}_{21}=q_2\,\vec{v}_2\times\vec{B}_1(\vec{r}_2) =\frac{\mu_0}{4\pi}\,q_1 q_2\,\frac{\vec{v}_2\times\bigl(\vec{v}_1\times(-\hat r)\bigr)}{r^2} =-\frac{\mu_0}{4\pi}\,q_1 q_2\,\frac{\vec{v}_2\times\bigl(\vec{v}_1\times\hat r\bigr)}{r^2}.
  • Vamos somar \vec{F}_{12}+\vec{F}_{21}. Usando a identidade vetorial
\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c})-\vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b}),
obtemos, depois de manipular,
\vec{F}_{12}+\vec{F}_{21}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,q_1 q_2\,\frac{\;\vec{v}_2(\vec{v}_1\cdot\vec{r})-\vec{v}_1(\vec{v}_2\cdot\vec{r})\;}{r^3}.
  • Interpretação: esse resultado não é, em geral, o vetor nulo. Ou seja, a soma das forças magnéticas par-a-par geralmente não é zero — portanto as forças magnéticas, por si só, não obedecem à forma simples da terceira lei de Newton.

Passo 6

Um exemplo concreto e numérico (para ver claramente que a soma não dá zero):
  • Escolha geométrica simples: tome o vetor \vec{r} entre as cargas na direção x: \vec{r}=r\,\hat{x}. Escolha velocidades perpendiculares: \vec{v}_1=v\,\hat{x} e \vec{v}_2=v\,\hat{y}.
  • Calcule os produtos escalares:
\vec{v}_1\cdot\vec{r}=v\,r,\qquad \vec{v}_2\cdot\vec{r}=0.
  • Substituindo na expressão da soma:
\vec{F}_{12}+\vec{F}_{21}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,q_1 q_2\,\frac{\vec{v}_2(\vec{v}_1\cdot\vec{r})}{r^3} =\frac{\mu_0}{4\pi}\,q_1 q_2\,\frac{v^2}{r^2}\,\hat{y}.
  • Escolhendo números para visualizar (apenas ilustrativo): q_1=q_2=1\\ \mathrm{C}, v=1\\ \mathrm{m/s}, r=1\\ \mathrm{m}, e \mu_0/(4\pi)=10^{-7} (SI), obtemos
\vec{F}_{12}+\vec{F}_{21}=10^{-7}\,\hat{y}\\ \text{N}.
  • Conclusão do exemplo: a soma das forças magnéticas é um vetor não nulo (aqui apontando em \hat y), logo \vec{F}_{12}\neq -\vec{F}_{21}. Portanto, a força magnética (isoladamente) não obedece à terceira lei de Newton.

Passo 7

Explicação física e fechamento (o que isso significa na prática):
  • Não obedecer à terceira lei no sentido estrito não significa quebra da conservação do momento total do sistema. O que acontece é que o campo eletromagnético também carrega momento. Quando se inclui o momento do campo (densidade de momento \vec{g}=\epsilon_0\,\vec{E}\times\vec{B}) e se contabiliza a troca de momento entre partículas e campo, o momento total (partículas + campo) é conservado.
  • Em palavras mais humanas: as forças magnéticas entre partículas não formam sempre pares ação–reação puramente mecânicos; parte da “reação” aparece no campo eletromagnético. Por isso, em problemas de eletromagnetismo às vezes a terceira lei só “aparece” se lembrar de incluir o campo.

Resposta

Não. Em geral a força magnética não obedece à terceira lei de Newton (isto é, \vec{F}_{12}\neq -\vec{F}_{21} para forças magnéticas isoladas); exemplo concreto: duas cargas em movimento com \vec{r}=r\hat{x}, \vec{v}_1=v\hat{x}, \vec{v}_2=v\hat{y} dão \vec{F}_{12}+\vec{F}_{21}=\dfrac{\mu_0}{4\pi}q_1q_2\dfrac{v^2}{r^2}\,\hat{y}\neq\vec{0}.

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