A força média de resistência de uma fibra sintética é uma característica de qualidade de interesse do fabricante, que deseja testar a hipótese de que a força média é maior que 50 psi, usando alpha=0,05. O desvio padrão populacional da força de resistência é desconhecido. Uma amostra de 16 exemplares de fibra é selecionada e são obtidos os seguintes resultados: barX=50,86 ; S=1,66. Sabe-se que a distribuição da força de resistência é normal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre testar se a força média de resistência de uma fibra sintética é maior que 50 psi. Isso faz parte da matéria de Estatística, mais especificamente do teste de hipóteses. Para resolver isso, a gente vai precisar usar o teste t de Student, já que o desvio padrão da população é desconhecido e a amostra é pequena (16 elementos). Vamos precisar também dos dados da amostra: média barX=50,86 psi e desvio padrão S=1,66 psi.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que queremos testar. A hipótese nula ( H0) é que a força média é igual a 50 psi, e a hipótese alternativa ( Ha) é que a força média é maior que 50 psi. Isso porque o fabricante quer saber se a força média é maior que o valor mínimo de 50 psi.
  • Hipótese Nula ( H0): mu = 50 psi
  • Hipótese Alternativa ( Ha): mu > 50 psi

Passo 3

Como o desvio padrão da população é desconhecido e temos uma amostra pequena, vamos usar o teste t de Student. Esse teste nos ajuda a comparar a média da amostra com a média hipotética da população quando não conhecemos o desvio padrão real.

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor do teste t usando a fórmula:
t = barX - mu0Sraizn
Onde:
  • barX = 50,86 psi (média da amostra)
  • mu0 = 50 psi (média hipotética)
  • S = 1,66 psi (desvio padrão da amostra)
  • n = 16 (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:
t = 50,86 - 501,66raiz16 = 0,861,664 = 0,860,415 approx 2,07

Passo 5

Vamos determinar o valor crítico para o teste t com nível de significância alpha = 0,05 e graus de liberdade df = n - 1 = 15. Como a hipótese alternativa é “maior que”, é um teste unilateral.
Consultando a tabela t de Student, o valor crítico para df = 15 e alpha = 0,05 em um teste unilateral é aproximadamente tcrítico = 1,753í.

Passo 6

Agora, comparamos o valor calculado de t = 2,07 com o valor crítico tcrítico = 1,753í. Como 2,07 > 1,753, a gente rejeita a hipótese nula.

Resposta

Com base no teste realizado, temos evidências suficientes para afirmar, com nível de significância de 5%, que a força média de resistência da fibra sintética é maior que 50 psi.

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