A forma diferencial da lei de Faraday afirma que o divergente do campo elétrico é o negativo da derivada temporal da indução magnética.
Passo 1
O enunciado que você deu é a frase: “A forma diferencial da lei de Faraday afirma que o divergente do campo elétrico é o negativo da derivada temporal da indução magnética.”
A tarefa implícita é verificar se essa afirmação está correta e, se não estiver, apresentar a forma correta e explicar por quê.
Informações fornecidas: a frase acima (não há outras condições numéricas ou figuras).
A tarefa implícita é verificar se essa afirmação está correta e, se não estiver, apresentar a forma correta e explicar por quê.
Informações fornecidas: a frase acima (não há outras condições numéricas ou figuras).
Passo 2
Primeiro, vou escrever a forma diferencial correta da lei de Faraday e explicar cada símbolo para você entender direitinho. A forma diferencial correta é
Aqui:
-
é o campo elétrico (um campo vetorial que em cada ponto dá a intensidade e direção da força por unidade de carga). -
é a indução magnética ou densidade de fluxo magnético (também um campo vetorial). -
é a derivada parcial temporal de : mede como muda com o tempo numa posição fixa. -
é o rotacional (curl) do campo elétrico: é um operador que, aplicado a um campo vetorial, produz outro campo vetorial que mede a tendência de rotação/ circulação do campo original.
Então: a lei de Faraday relaciona o rotacional (não o divergente) de
com a variação temporal de
.
Passo 3
Agora, é essencial entender a diferença entre divergente e rotacional — muita confusão vem daí. Para um campo vetorial
definimos:
Significado físico e geométrico:
-
(divergente) mede a densidade de “fonte” ou “sumidouro” em um ponto — se é positivo, há saída líquida do campo naquele ponto. -
(rotacional) mede a tendência local a criar circulação em torno do ponto — se é não nulo, o campo tem “giro” local.
Exemplos simples para fixar:
- Campo radial
tem (há fontes) e (sem circulação). - Campo circular no plano
tem (sem fontes) e (há rotação no eixo ).
Passo 4
Por que a sua frase está incorreta: ela confunde divergente com rotacional. A lei que liga o divergente de
com algo é a lei de Gauss para o campo elétrico:
onde
é a densidade volumétrica de carga elétrica e
é a permissividade do vácuo. Ou seja, divergente de
fala sobre cargas elétricas (fontes), não sobre variação temporal de
.
Passo 5
Para dar intuição física da lei de Faraday: na forma integral (que você pode ver como a versão “macroscópica”),
Isto diz que a circulação de
ao longo do contorno
de uma superfície
é igual ao negativo da taxa de variação do fluxo magnético através de
. Aplicando o teorema de Stokes (que liga circulação e rotacional) obtemos a forma diferencial
Portanto Faraday sempre envolve circulação/rotacional, nunca divergente.
Passo 6
Vou mostrar um exemplo concreto que ajuda a ver a diferença. Considere um campo magnético uniforme apontando em
que muda no tempo:
Por simetria, o campo elétrico induzido será circular (azimutal) em torno do eixo
:
. Aplique a forma integral em uma curva circular de raio
:
Dessa equação segue
Note que esse
é puramente circular: ele tem circulação (rotacional não nulo) e seu divergente é zero (
) — exatamente o contrário do que a frase original afirmava. Aqui fica claro: a variação de
cria campos elétricos que giram (curl), não fontes (divergence).
Passo 7
Resumo e conclusão didática:
- A frase original é incorreta porque troca divergente por rotacional.
- A lei de Faraday na forma diferencial é
. - A divergência de
está ligada às cargas elétricas pela lei de Gauss: .
Se você lembrar disso: Faraday → circulação/rotacional; Gauss → fontes/divergente, você já não vai mais confundir na prova. Força — você tá indo bem!
Resposta
Falso. A forma diferencial correta da lei de Faraday é
.