A forma diferencial da lei de Faraday afirma que o divergente do campo elétrico é o negativo da derivada temporal da indução magnética.

Passo 1

O enunciado que você deu é a frase: “A forma diferencial da lei de Faraday afirma que o divergente do campo elétrico é o negativo da derivada temporal da indução magnética.”
A tarefa implícita é verificar se essa afirmação está correta e, se não estiver, apresentar a forma correta e explicar por quê.
Informações fornecidas: a frase acima (não há outras condições numéricas ou figuras).

Passo 2

Primeiro, vou escrever a forma diferencial correta da lei de Faraday e explicar cada símbolo para você entender direitinho. A forma diferencial correta é
\nabla\times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.
Aqui:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico (um campo vetorial que em cada ponto dá a intensidade e direção da força por unidade de carga).
  • \mathbf{B} é a indução magnética ou densidade de fluxo magnético (também um campo vetorial).
  • \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} é a derivada parcial temporal de \mathbf{B}: mede como \mathbf{B} muda com o tempo numa posição fixa.
  • \nabla\times\mathbf{E} é o rotacional (curl) do campo elétrico: é um operador que, aplicado a um campo vetorial, produz outro campo vetorial que mede a tendência de rotação/ circulação do campo original.
Então: a lei de Faraday relaciona o rotacional (não o divergente) de \mathbf{E} com a variação temporal de \mathbf{B}.

Passo 3

Agora, é essencial entender a diferença entre divergente e rotacional — muita confusão vem daí. Para um campo vetorial \mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z) definimos:
\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z},
\nabla\times\mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},\; \frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},\; \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right).
Significado físico e geométrico:
  • \nabla\cdot\mathbf{F} (divergente) mede a densidade de “fonte” ou “sumidouro” em um ponto — se é positivo, há saída líquida do campo naquele ponto.
  • \nabla\times\mathbf{F} (rotacional) mede a tendência local a criar circulação em torno do ponto — se é não nulo, o campo tem “giro” local.
Exemplos simples para fixar:
  • Campo radial \mathbf{F}=k\mathbf{r}=(kx,ky,kz) tem \nabla\cdot\mathbf{F}=3k (há fontes) e \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} (sem circulação).
  • Campo circular no plano \mathbf{F}=(-y,x,0) tem \nabla\cdot\mathbf{F}=0 (sem fontes) e \nabla\times\mathbf{F}= (0,0,2) (há rotação no eixo z).

Passo 4

Por que a sua frase está incorreta: ela confunde divergente com rotacional. A lei que liga o divergente de \mathbf{E} com algo é a lei de Gauss para o campo elétrico:
\nabla\cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0},
onde \rho é a densidade volumétrica de carga elétrica e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Ou seja, divergente de \mathbf{E} fala sobre cargas elétricas (fontes), não sobre variação temporal de \mathbf{B}.

Passo 5

Para dar intuição física da lei de Faraday: na forma integral (que você pode ver como a versão “macroscópica”),
\oint_{\partial S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = -\frac{d}{dt}\int_{S} \mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}.
Isto diz que a circulação de \mathbf{E} ao longo do contorno \partial S de uma superfície S é igual ao negativo da taxa de variação do fluxo magnético através de S. Aplicando o teorema de Stokes (que liga circulação e rotacional) obtemos a forma diferencial
\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.
Portanto Faraday sempre envolve circulação/rotacional, nunca divergente.

Passo 6

Vou mostrar um exemplo concreto que ajuda a ver a diferença. Considere um campo magnético uniforme apontando em z que muda no tempo:
\mathbf{B}(t) = B(t)\,\hat{\mathbf{z}}.
Por simetria, o campo elétrico induzido será circular (azimutal) em torno do eixo z: \mathbf{E}=E_\varphi(r,t)\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}. Aplique a forma integral em uma curva circular de raio r:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = E_\varphi( r,t)\,2\pi r = -\frac{d}{dt}\!\left(\pi r^2 B(t)\right).
Dessa equação segue
E_\varphi(r,t) = -\frac{r}{2}\,\frac{dB}{dt}.
Note que esse \mathbf{E} é puramente circular: ele tem circulação (rotacional não nulo) e seu divergente é zero ( \nabla\cdot\mathbf{E}=0) — exatamente o contrário do que a frase original afirmava. Aqui fica claro: a variação de \mathbf{B} cria campos elétricos que giram (curl), não fontes (divergence).

Passo 7

Resumo e conclusão didática:
  • A frase original é incorreta porque troca divergente por rotacional.
  • A lei de Faraday na forma diferencial é \nabla\times\mathbf{E}=-\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.
  • A divergência de \mathbf{E} está ligada às cargas elétricas pela lei de Gauss: \nabla\cdot\mathbf{E}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}.
    Se você lembrar disso: Faraday → circulação/rotacional; Gauss → fontes/divergente, você já não vai mais confundir na prova. Força — você tá indo bem!

Resposta

Falso. A forma diferencial correta da lei de Faraday é \nabla\times\mathbf{E}=-\dfrac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.