Formou-se gelo em um pequeno lago e o regime estacionário foi atingido com 0 ar acima do gelo em -5^circ C e o fundo do lago a 4^circ C. Se a profundidade total do gelo = água for de 1,4 m, qual é a espessura do gelo? (Suponha que as condutividades térmicas do gelo e da água são, respectivamente, 0,4 e 1,2 cal / m^circ C ). Retirado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a formação de gelo em um lago e nos pede para descobrir a espessura do gelo. A matéria envolvida aqui é transferência de calor em regime estacionário, onde o calor se move de uma região para outra de maneira constante. Para resolver isso, vamos precisar entender como o calor é conduzido tanto pelo gelo quanto pela água e usar as propriedades de condutividade térmica fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa regime estacionário. Isso quer dizer que a quantidade de calor que passa pelo gelo é igual à quantidade que passa pela água, mantendo uma temperatura constante nas duas partes. Então, o calor que desce do ar frio passa pelo gelo e chega na água mais quente sem se acumular nem diminuir.

Passo 3

Vamos chamar a espessura do gelo de $ L_{gelo} $ e a espessura da água de $ L_{água} $. Sabemos que a profundidade total (gelo + água) é de 1,4 metros:
L>=lo á

Passo 4

A condutividade térmica ($ k $) nos diz quão bem um material conduz o calor. Aqui, temos:
  • Gelo: $ k_{gelo} = 0,4 , cal/m^\circC $
  • Água: $ k_{água} = 1,2 , cal/m^\circC $

Passo 5

No regime estacionário, a taxa de transferência de calor através do gelo é igual à taxa de transferência através da água. A fórmula para a taxa de transferência de calor ($ \phi $) é:
phi
Onde:
- $ k $ é a condutividade térmica
- $ \Delta T $ é a diferença de temperatura
- $ L $ é a espessura do material

Passo 6

Vamos aplicar essa fórmula para o gelo e para a água:
Para o gelo:
phi = k>=lo cdot (Tinterface - Tar)L>=lo
Para a água:
phi = kágua cdot (Tágua - Tinterface)Lágua ááá
Onde $ T_{interface} $ é a temperatura na interface entre o gelo e a água.

Passo 7

Como as taxas de calor são iguais:
k>=lo cdot (Tinterface - Tar)L>=lo = kágua cdot (Tágua - Tinterface)Lágua ááá

Passo 8

Sabemos que $ L_{água} = 1,4 - L_{gelo} $. Vamos substituir isso na equação:
Lágua = 1,4 - L>=lo

Passo 9

Assumindo que a temperatura na interface é um ponto intermediário que não precisamos calcular agora, podemos simplificar a equação relacionando apenas as condutividades e as espessuras:
k>=loL>=lo = káguaLágua áá
Substituindo $ L_{água} = 1,4 - L_{gelo} $:
Lágua = 1,4 - L>=lo

Passo 10

Resolvendo para $ L_{gelo} $:
Multiplicamos cruzado:
L>=lo
0,4 cdot (1,4 - L>=lo) = 1,2 cdot L>=lo
Somando $ 0,4 L_{gelo} $ dos dois lados:
0,56 - 0,4 L>=lo = 1,2 L>=lo
Dividindo ambos os lados por 1,6:
0,4 L>=lo
0,56 = 1,6 L>=lo

Resposta

A espessura do gelo é de 0,35 metros.

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