Formou-se gelo em um pequeno lago e o regime estacionário foi atingido com 0 ar acima do gelo em
e o fundo do lago a
. Se a profundidade total do gelo
água for de
, qual é a espessura do gelo? (Suponha que as condutividades térmicas do gelo e da água são, respectivamente, 0,4 e
). Retirado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a formação de gelo em um lago e nos pede para descobrir a espessura do gelo. A matéria envolvida aqui é transferência de calor em regime estacionário, onde o calor se move de uma região para outra de maneira constante. Para resolver isso, vamos precisar entender como o calor é conduzido tanto pelo gelo quanto pela água e usar as propriedades de condutividade térmica fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa regime estacionário. Isso quer dizer que a quantidade de calor que passa pelo gelo é igual à quantidade que passa pela água, mantendo uma temperatura constante nas duas partes. Então, o calor que desce do ar frio passa pelo gelo e chega na água mais quente sem se acumular nem diminuir.
Passo 3
Vamos chamar a espessura do gelo de $ L_{gelo} $ e a espessura da água de $ L_{água} $. Sabemos que a profundidade total (gelo + água) é de 1,4 metros:
Passo 4
A condutividade térmica ($ k $) nos diz quão bem um material conduz o calor. Aqui, temos:
- Gelo: $ k_{gelo} = 0,4 , cal/m^\circC $
- Água: $ k_{água} = 1,2 , cal/m^\circC $
Passo 5
No regime estacionário, a taxa de transferência de calor através do gelo é igual à taxa de transferência através da água. A fórmula para a taxa de transferência de calor ($ \phi $) é:
Onde:
- $ k $ é a condutividade térmica
- $ \Delta T $ é a diferença de temperatura
- $ L $ é a espessura do material
Passo 6
Vamos aplicar essa fórmula para o gelo e para a água:
Para o gelo:
Para o gelo:
Para a água:
Onde $ T_{interface} $ é a temperatura na interface entre o gelo e a água.
Passo 7
Como as taxas de calor são iguais:
Passo 8
Sabemos que $ L_{água} = 1,4 - L_{gelo} $. Vamos substituir isso na equação:
Passo 9
Assumindo que a temperatura na interface é um ponto intermediário que não precisamos calcular agora, podemos simplificar a equação relacionando apenas as condutividades e as espessuras:
Substituindo $ L_{água} = 1,4 - L_{gelo} $:
Passo 10
Resolvendo para $ L_{gelo} $:
Multiplicamos cruzado:
Multiplicamos cruzado:
Somando $ 0,4 L_{gelo} $ dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por 1,6:
Resposta
A espessura do gelo é de 0,35 metros.