Qual a fórmula diferencial que possibilita determinar o campo elétrico em uma direção arbitrária a partir do potencial elétrico?

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a fórmula diferencial que permite determinar o campo elétrico numa direção arbitrária a partir do potencial elétrico.\n
Informações fornecidas (implícitas): temos um potencial elétrico escalar V(\mathbf{r}) definido num ponto do espaço (por exemplo em coordenadas cartesianas V(x,y,z)) e queremos o valor do campo elétrico numa direção qualquer dada por um vetor unitário \hat{n}. Nada mais é pedido além da relação matemática entre V e \mathbf{E} nessa direção.

Passo 2

Conceito importante: gradient (gradiente) de um campo escalar. Vou explicar devagar. Se V(x,y,z) é uma função que dá um número em cada ponto do espaço, o gradiente de V é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de V e cuja magnitude é a taxa máxima de variação por unidade de comprimento. A definição em coordenadas cartesianas é
\nabla V = \left(\frac{\partial V}{\partial x},\;\frac{\partial V}{\partial y},\;\frac{\partial V}{\partial z}\right).
Aqui \partial V/\partial x significa “a derivada parcial de V quando eu mexo só em x, mantendo y e z fixos”; e o mesmo para as outras. Exemplo simples: se V(x,y,z)=2x+3y então
\nabla V = (2,3,0),
ou seja, ao andar um pequeno deslocamento \Delta \mathbf{r}, a variação aproximada de V é \Delta V \approx \nabla V\cdot\Delta\mathbf{r}.

Passo 3

Relação entre campo elétrico e potencial (a fórmula vetorial básica). A física nos diz que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial:
\mathbf{E} = -\nabla V.
Explicando o sinal negativo de forma intuitiva: o campo elétrico aponta na direção em que o potencial diminui mais rapidamente, portanto se \nabla V aponta para aumento, -\nabla V aponta para a queda do potencial — é essa direção que as cargas positivas “sentem” a força. Em componentes cartesianas isso dá
E_x = -\frac{\partial V}{\partial x},\quad E_y = -\frac{\partial V}{\partial y},\quad E_z = -\frac{\partial V}{\partial z}.

Passo 4

Como obter a componente do campo elétrico numa direção arbitrária. Primeiro definimos um vetor unitário \hat{n} que indica a direção desejada (um vetor com comprimento 1). A derivada direcional de V nessa direção é dada por
\frac{\partial V}{\partial n} = \hat{n}\cdot\nabla V.
Isso vem da propriedade já citada \Delta V \approx \nabla V\cdot\Delta\mathbf{r}; ao escolher \Delta\mathbf{r}=\hat{n}\,\Delta s obtemos a taxa por unidade de comprimento na direção \hat{n}. Agora a componente do campo elétrico ao longo de \hat{n} é o produto escalar de \mathbf{E} com \hat{n}:
E_n = \mathbf{E}\cdot\hat{n}.
Substituindo \mathbf{E}=-\nabla V obtemos a fórmula desejada:
E_n = -\hat{n}\cdot\nabla V = -\frac{\partial V}{\partial n}.
Interpretação prática: para achar E_n calcule o gradiente de V, faça o produto escalar com o vetor unitário \hat{n} e coloque o sinal negativo.

Passo 5

Exemplo passo a passo para fixar o procedimento (faça igual na prova). Suponha V(x,y,z)=5x^2+3y e queremos a componente do campo na direção \hat{n}=(1/\sqrt{2},\,1/\sqrt{2},\,0).\n
  1. Calcule as derivadas parciais: \partial V/\partial x = 10x, \partial V/\partial y = 3, \partial V/\partial z = 0.\n
  2. Escreva o gradiente:
\nabla V = (10x,\,3,\,0).
  1. Faça o produto escalar com \hat{n}:
\hat{n}\cdot\nabla V = \frac{1}{\sqrt{2}}(10x) + \frac{1}{\sqrt{2}}(3) = \frac{10x+3}{\sqrt{2}}.
  1. A componente do campo nessa direção é o negativo:
E_n = -\frac{10x+3}{\sqrt{2}}.
Viu como é mecânico? Deriva, gradiente, projeta, põe o sinal negativo.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova:
  • Sempre verifique que \hat{n} é unitário; se não for, normalize antes: \hat{n}=\mathbf{a}/\|\mathbf{a}\|.\n
  • Em coordenadas não cartesianas (cilíndricas, esféricas) o gradiente tem fatores de escala — se aparecerem questões nesses sistemas, use a expressão do \nabla apropriada para o sistema escolhido.\n
  • Se pedirem só a direção (não o módulo), lembre-se do sinal: o campo aponta para onde V diminui.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E} = -\nabla V\n
\displaystyle E_{n} = \mathbf{E}\cdot\hat{n} = -\hat{n}\cdot\nabla V = -\frac{\partial V}{\partial n}

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