Qual a fórmula diferencial que possibilita determinar o campo elétrico em uma direção arbitrária a partir do potencial elétrico?
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a fórmula diferencial que permite determinar o campo elétrico numa direção arbitrária a partir do potencial elétrico.\n
Informações fornecidas (implícitas): temos um potencial elétrico escalar definido num ponto do espaço (por exemplo em coordenadas cartesianas
) e queremos o valor do campo elétrico numa direção qualquer dada por um vetor unitário
. Nada mais é pedido além da relação matemática entre
e
nessa direção.
Informações fornecidas (implícitas): temos um potencial elétrico escalar
Passo 2
Conceito importante: gradient (gradiente) de um campo escalar. Vou explicar devagar. Se
é uma função que dá um número em cada ponto do espaço, o gradiente de
é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de
e cuja magnitude é a taxa máxima de variação por unidade de comprimento. A definição em coordenadas cartesianas é
Aqui
significa “a derivada parcial de
quando eu mexo só em
, mantendo
e
fixos”; e o mesmo para as outras. Exemplo simples: se
então
ou seja, ao andar um pequeno deslocamento
, a variação aproximada de
é
.
Passo 3
Relação entre campo elétrico e potencial (a fórmula vetorial básica). A física nos diz que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial:
Explicando o sinal negativo de forma intuitiva: o campo elétrico aponta na direção em que o potencial diminui mais rapidamente, portanto se
aponta para aumento,
aponta para a queda do potencial — é essa direção que as cargas positivas “sentem” a força. Em componentes cartesianas isso dá
Passo 4
Como obter a componente do campo elétrico numa direção arbitrária. Primeiro definimos um vetor unitário
que indica a direção desejada (um vetor com comprimento 1). A derivada direcional de
nessa direção é dada por
Isso vem da propriedade já citada
; ao escolher
obtemos a taxa por unidade de comprimento na direção
. Agora a componente do campo elétrico ao longo de
é o produto escalar de
com
:
Substituindo
obtemos a fórmula desejada:
Interpretação prática: para achar
calcule o gradiente de
, faça o produto escalar com o vetor unitário
e coloque o sinal negativo.
Passo 5
Exemplo passo a passo para fixar o procedimento (faça igual na prova). Suponha
e queremos a componente do campo na direção
.\n
- Calcule as derivadas parciais:
, , .\n - Escreva o gradiente:
- Faça o produto escalar com
:
- A componente do campo nessa direção é o negativo:
Viu como é mecânico? Deriva, gradiente, projeta, põe o sinal negativo.
Passo 6
Dicas rápidas para a prova:
- Sempre verifique que
é unitário; se não for, normalize antes: .\n - Em coordenadas não cartesianas (cilíndricas, esféricas) o gradiente tem fatores de escala — se aparecerem questões nesses sistemas, use a expressão do
apropriada para o sistema escolhido.\n - Se pedirem só a direção (não o módulo), lembre-se do sinal: o campo aponta para onde
diminui.