Um fóton de energia
colide frontalmente com uma partícula de massa de repouso
. Após a colisão, uma partícula de massa
é criada e o fóton incidente é espalhado um ângulo
em relação ao seu momento inicial. Determine a energia
do fóton espalhado.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fóton com energia
que bate de frente com uma partícula que está em repouso e tem massa
. Depois da colisão, é criada uma nova partícula com massa
e o fóton que veio é desviado, formando um ângulo
em relação à sua direção inicial. O que precisamos descobrir é qual é a energia
desse fóton espalhado.
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas ideias da física de partículas e da relatividade, especialmente os conceitos de conservação de energia e de momento (ou quantidade de movimento). Vamos quebrar isso em passos para entender melhor como chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em qualquer colisão, a energia total e o momento total devem ser conservados. Isso significa que a energia que temos antes da colisão deve ser igual à energia que temos depois, e o mesmo vale para o momento.
A energia total antes da colisão é a soma da energia do fóton e da energia de repouso da partícula
. Depois da colisão, temos a energia do fóton espalhado
e a energia de repouso da nova partícula
.
Então, podemos escrever a equação da conservação de energia assim:
Aqui,
é a velocidade da luz.
Passo 3
Agora, vamos pensar no momento. O fóton tem uma quantidade de movimento que está relacionada à sua energia. Para os fótons, a relação entre energia
e momento
é:
Como a partícula
está em repouso inicialmente, seu momento inicial é zero. Após a colisão, temos o fóton espalhado com momento
fazendo um ângulo
em relação à direção original, e a nova partícula
adquirindo algum momento
.
Como a colisão é frontal, podemos considerar a conservação do momento nas duas direções: horizontal e vertical.
Passo 4
Vamos resolver a conservação do momento na direção horizontal (a direção original do fóton):
E na direção vertical:
Aqui,
é o ângulo que o momento da partícula
faz com a direção original.
Além disso, sabemos que a energia da partícula
pode ser relacionada à sua massa e momento pela relação da relatividade:
Passo 5
Vamos resolver essas equações passo a passo. Primeiro, da segunda equação (momentos na direção vertical):
Podemos isolar
:
Agora, substituímos
na primeira equação (momentos na direção horizontal):
Simplificando:
Para resolver isso, precisaríamos de mais informações sobre os ângulos ou relações adicionais, mas para simplificar, podemos assumir que a partícula
move-se na direção que equilibra os momentos, levando à conclusão que
.
Substituindo
:
Simplificando ainda mais:
Finalmente, isolando
:
Resposta
A energia
do fóton espalhado é: