Um fóton de raio gama, de 511 keV , é espalhado por um elétron livre de um bloco de alumínio. (a) Qual é o comprimento de onda do fóton incidente? (b) Qual é o comprimento de onda do fóton espalhado? (c) Qual é a energia do fóton espalhado’ Admita que o ângulo de espalhamento seja de 72,0^{\circ}.

Passo 1

O enunciado descreve um fóton de energia inicial E_i = 511\;\text{keV} que sofre espalhamento de Compton em um elétron livre com ângulo de espalhamento \theta = 72,0^\circ. Vamos:
  1. calcular o comprimento de onda inicial \lambda_i a partir de E_i usando \lambda = h c / E;
  2. obter o deslocamento de Compton \Delta\lambda = \lambda_C(1-\cos\theta), em que \lambda_C = h/(m_e c) é o comprimento de onda de Compton do elétron;
  3. achar o comprimento de onda espalhado \lambda_s = \lambda_i + \Delta\lambda;
  4. determinar a energia do fóton espalhado E_s = h c / \lambda_s.

Passo 2

A relação entre comprimento de onda e energia de um fóton é
\lambda = \frac{h c}{E}.
Usando h c = 1240\;\text{keV}\cdot\text{pm} e E_i = 511\;\text{keV}, temos
\lambda_i = \frac{1240\;\text{keV}\cdot\text{pm}}{511\;\text{keV}} =2,426\;\text{pm} =2,426\times10^{-12}\,\text{m}.

Passo 3

O comprimento de onda de Compton do elétron é
\lambda_C = \frac{h}{m_e c}\approx 2,426\;\text{pm}.

Passo 4

O deslocamento de Compton para ângulo \theta é
\Delta\lambda = \lambda_C\bigl(1-\cos\theta\bigr).
Como \cos72,0^\circ\approx0,3090,
\Delta\lambda = 2,426\;\text{pm}\,(1-0,3090) =2,426\;\text{pm}\times0,6910 =1,676\;\text{pm}.

Passo 5

O comprimento de onda do fóton espalhado fica
\lambda_s = \lambda_i + \Delta\lambda =2,426\;\text{pm} + 1,676\;\text{pm} =4,102\;\text{pm} =4,102\times10^{-12}\,\text{m}.

Passo 6

A energia do fóton espalhado é
E_s = \frac{h c}{\lambda_s} = \frac{1240\;\text{keV}\cdot\text{pm}}{4,102\;\text{pm}} \approx302\;\text{keV}.

Resposta

(a) \lambda_i = 2,426\times10^{-12}\,\text{m}.
(b) \lambda_s = 4,102\times10^{-12}\,\text{m}.
(c) E_s = 302\;\text{keV}.

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