Fótons com o comprimento de onda de 2,17 \mathrm{pm} incidem sobre elétrons livres. (a) Determine o comprimento de onda do fóton que é espalhado num ângulo de 35.0^{\circ} \mathrm{em} relação à direção de incidência. (b) Idem, para o ângulo de espalhamento de 115^{\circ}.

Passo 1

O enunciado diz que fótons com comprimento de onda inicial \lambda=2,17\,\mathrm{pm} são espalhados por elétrons livres, e pede o comprimento de onda \lambda' do fóton espalhado para dois ângulos de espalhamento \theta. O conteúdo aqui é o efeito Compton, cuja formulação básica é
\Delta \lambda \;=\;\lambda' - \lambda \;=\;\lambda_C\,(1-\cos\theta),
onde \lambda_C é o comprimento de onda de Compton do elétron.

Passo 2

Vamos usar a definição de \lambda_C:
\lambda_C \;=\;\frac{h}{m_e\,c},
onde h é a constante de Planck, m_e a massa do elétron e c a velocidade da luz. Esse valor é conhecido:
\lambda_C \approx 2{,}426\times10^{-12}\,\mathrm{m} \;=\;2{,}426\,\mathrm{pm}.

Passo 3

Para cada ângulo \theta calculamos primeiro
\Delta \lambda = \lambda_C\,(1-\cos\theta)
e depois
\lambda' = \lambda + \Delta\lambda.

Passo 4

Para \theta=35{,}0^\circ:
\cos35{,}0^\circ\approx0{,}8192, então
\Delta \lambda = 2{,}426\,\mathrm{pm}\,\bigl(1-0{,}8192\bigr) =2{,}426\times0{,}1808 \approx0{,}439\,\mathrm{pm},
e
\lambda' = 2{,}17\,\mathrm{pm} + 0{,}439\,\mathrm{pm} \approx2{,}61\,\mathrm{pm}.

Passo 5

Para \theta=115^\circ:
\cos115^\circ=\cos(180^\circ-65^\circ)=-\cos65^\circ\approx-0{,}4226, então
\Delta \lambda = 2{,}426\,\mathrm{pm}\,\bigl(1-(-0{,}4226)\bigr) =2{,}426\times1{,}4226 \approx3{,}45\,\mathrm{pm},
e
\lambda' = 2{,}17\,\mathrm{pm} + 3{,}45\,\mathrm{pm} \approx5{,}62\,\mathrm{pm}.

Resposta

(a) \lambda' \approx 2{,}61\,\mathrm{pm}.
(b) \lambda' \approx 5{,}62\,\mathrm{pm}.

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